מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/משוואות/משוואות עם שברים

משוואות עם שברים

אנו מתקדמים כעת לנושא של משוואות עם שברים. אין למעשה הבדל תאורטי בין נושא זה לבין הנושאים הקודמים ולא נלמד פה נושאים חדשים, אלא נשכלל מעט את הידע שכבר רכשנו בתחום פתרון המשוואות.

מכנה משותף

מציאת מכנה משותף הנה פעולה פשוטה וחשובה בפתרון משוואות עם שברים. נתבונן במשוואה הבאה:

$${\frac {x}{4x-12}}+{\frac {1}{x-5}}=0$$

על-מנת לפתור משוואה זו, עלינו "להיפטר" מהשברים ולעבור למשוואה אחרת שאותה אנחנו כבר יודעים לפתור, כמו למשל משוואה ריבועית. על-מנת לעשות זאת, נמצא ראשית את המכנה המשותף לכל השברים המופיעים במשוואה. במקרה זה, המכנה המשותף הוא בדיוק $(4x-12)(x-5)$ . לאחר שמצאנו את המכנה המשותף נוכל לכפול בו את המשוואה כולה, שכן ברור שהמכנים לא יכולים להיות 0, אחרת המשוואה מאבדת את משמעותה. על כן:

$${\begin{matrix}{\dfrac {x}{4x-12}}+{\dfrac {1}{x-5}}=0\quad {\Big /}\cdot (4x-12)(x-5)\\\\\left({\dfrac {x}{4x-12}}+{\dfrac {1}{x-5}}\right)(4x-12)(x-5)=0\\\\{\dfrac {x}{4x-12}}\cdot (4x-12)(x-5)+{\dfrac {1}{x-5}}\cdot (4x-12)(x-5)=0\\\\x(x-5)+4x-12=0\\\\x^{2}-x-12=0\end{matrix}}$$

את המשוואה האחרונה נפתור בעזרת נוסחת השורשים של משוואה ריבועית (זו שראינו בפרק הקודם). נקבל כי

$${\begin{matrix}x_{1,2}={\dfrac {1\pm {\sqrt {1^{2}-4(-12)}}}{2}}={\dfrac {1\pm 7}{2}}\\\\x_{1}=4,x_{2}=-3\end{matrix}}$$

גורמים משותפים

לעתים לא ניתן לפתור את המשוואה באופן טכני לחלוטין. כדוגמא ניקח את המשוואה

$$x-{\frac {7x-63}{x}}+{\frac {6(x-9)}{x^{2}}}=9$$

משוואה זו אינה נראית פשוטה כלל ועיקר. עלינו לפתור את המשוואה בשלבים. ראשית נחפש מכנה משותף על-מנת "להיפטר" מהשברים. נבצע זאת על-ידי הכפלה ב-$x^{2}$ . ניתן לעשות זאת כך משום שהמכנים לעולם אינם 0 כי אחרת לביטוי אין שום משמעות. פעולה זו תהפוך את המשוואה למשוואה ללא שברים כך:

$${\begin{matrix}x-{\dfrac {7x-63}{x}}+{\dfrac {6(x-9)}{x^{2}}}=9\quad {\Big /}\cdot x^{2}\\\\x^{2}\left(x-{\dfrac {7x-63}{x}}+{\dfrac {6(x-9)}{x^{2}}}\right)=9x^{2}\\\\x^{2}\cdot x-x^{2}\cdot {\dfrac {7x-63}{x}}+x^{2}\cdot {\dfrac {6(x-9)}{x^{2}}}=9x^{2}\\\\x^{3}-x(7x-63)+6(x-9)=9x^{2}\\\\x^{3}-7x^{2}+63x+6(x-9)=9x^{2}\end{matrix}}$$

כאן נעצור לרגע. אם נמשיך לכנס אברים, לא נוכל להמשיך לפתור משום שנקבל משוואה ממעלה שלישית אשר איננו יודעים כיצד לפתור. עלינו למצוא דרך אחרת לפתרון. נשים לב ש-63 הוא כפולה של 9 ו-7 ולכן

$$x^{3}-7x^{2}+(7x\cdot 9)+6(x-9)=9x^{2}$$

נוכל לסגור $x-9$ בתוך סוגרים ונקבל

$$x^{3}-7x(x-9)+6(x-9)=9x^{2}$$

וכעת נעביר את אגף ימין שמאלה ונקבל:

$$x^{3}-9x^{2}-7x(x-9)+6(x-9)=0$$

שימו לב שכרגע ניתן להוציא $x^{2}$ מהביטוי $x^{3}-9x^{2}$ ואז נקבל את הביטוי:

$$x^{2}(x-9)-7x(x-9)+6(x-9)=0$$

כעת נשים לב שכל האברים מוכפלים בביטוי $x-9$ , נוציא אותו בתור גורם משותף ונקבל:

$$(x^{2}-7x+6)(x-9)=0$$

כעת נקבל 2 מקרים נפרדים שבאחד מהם $x-9=0$ כלומר $x_{1}=9$ ומקרה נוסף שבו

$$x^{2}-7x+6=0$$

אותו נפתור בעזרת הטרינום הריבועי ונקבל לאחר חישוב (בדוק!): $x_{2}=6,x_{3}=1$

ראינו כאן שאת המשוואה הזו לא ניתן להתיר בקלות אם לא היינו שמים לב כי $x-9$ הוא גורם משותף. תמיד כדאי לשים לב לגורמים משותפים, ועל כן, יש לחזור ולתרגל את הנושא ככל הניתן.

הפרק הקודם: משוואות ריבועיות

משוואות עם שברים תרגילים

הפרק הבא: משוואות עם שורשים