מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הנגזרת של פונקציה

נגזרת היא שיפוע לפונקציה שאינה דווקא פונקציה ישרה/לינארית ($y=mx+n$) . מסומנת $f'(x)$ .

חשיבות הנגזרת: מסייעת לנו לחקור פונקציה נתונה ולמצוא תחומי עלייה וירידה של הפונקציה, נקודות קיצון ועוד.

משיק - ישר העובר דרך נקודה כלשהי על העקומה וכיוונו זהה לכיוון העקומה באותה נקודה. המשיק הינו קו ישר הנוגע ("נושק") לפונקציה בנקודה, אך הוא לא חותך אותה שנית באותו איזור. המשיק הוא כאמור קו ישר, ולכן יש לו שיפוע מוגדר.

נקודת ההשקה - נקודה קבועה על הפונקציה ממנה מעבירים את המשיק. במהלך הפרק נסמן אותה $(a,b)$ .

ה"בעיה" במציאת נגזרת

עבור אותה נקודת השקה,נקבל את אותו שיפוע מכל נקודה שקיימת על הפונקציה

בפרבולה ניתן להעביר מספר משיקים

בניגוד לפונקציה לינארית (קו ישר), לה יש שיפוע שאינו משתנה מנקודה לנקודה, אצל שאר הפונקציות ניתן להעביר מספר מיתרים מנקודת ההשקה ולקבל ערך שיפוע שונה. במילים אחרות, בפונקציה לינארית, ניתן להעביר מיתר בין כל שתי נקודות על הפונקציה ולקבל את אותו השיפוע.

לעומת זאת, בשאר הפונקציות המצב שונה. כל שתי נקודות "מגדירות" שיפוע שונה. לכן, החליטו כי שיפוע יקבע על-פי המיתר הקצר ביותר (= ישר גבולי) שניתן להעביר בין נקודת ההשקה לנקודה הקרובה ביותר אליה. כיון שככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק. מיתר גבולי זה יקרא משיק.

דוגמא

הגדרות

הפונקציה : $y=x^{2}$

$A$ - נקודת ההשקה: $(a,b)$ . נניח כי נקודת ההשקה שלנו היא $(1,1)$ .

$B$ - נקודה שניה: $(x,y)$ - יכולה להיות כל הנקודות הקיימות על הפונקציה (פרט מנקודת ההשקה). השאיפה שלנו היא שהנקודה תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה בכדי שערך השיפוע יהיה המדויק ביותר. במקרה שלנו (הצבה בפונקציה למציאת הקשר בין $x$ ל- $y$) , הנקודה היא $(x,x^{2})$ .

השיפוע: $m={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

מציאת הנגזרת

• מימין או משמאל? - נזכיר כי הנקודה $B$ יכולה להיות מימין ל- $A$ או משמאלה.
  • אם הנקודה $B$ מימין ל- $A$ ערכי $x$ שלה גדולים מ-1 (מערך $x_{A}$) .
  • אם הנקודה $B$ משמאל ל- $A$ ערכי $x$ שלה קטנים מ-1 (מערך $x_{A}$) .
• נזכיר: ככל שהנקודה תהיה קרובה יותר לנקודת ההשקה, כך ערך השיפוע יהיה מדויק יותר.

$x$ מימין:

0.9	0.8	0.7	$x$
1.9	1.8	1.7	$m={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

ככל שמתקרבים אל 1 (ערך $x$ של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדויק (2).

$x$ משמאל:

1.1	1.2	1.3	$x$
2.1	2.2	2.3	$m={\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

שוב, מגיעים אל אותה מסקנה - ככל שמתקרבים אל 1 (ערך $x$ של נקודת ההשקה), כך ערך השיפוע קרב אל ערכו המדויק (2) כיון שככל שהנקודות יותר קרובות זו לזו, ההערכה של ערך השיפוע, יותר מדויק

טבלה

אם נביט בטבלה, נוכל לראות שוב כי ככל שערכי $x$ מתקרבים לערך של 1, כך מגיעים אל ערך השיפוע המדויק יותר.

$x$	$y$	הנקודה	שיפוע הישר
5	25	$(5,25)$	${\frac {25-1}{5-1}}=6$
4	16	$(4,16)$	${\frac {16-1}{4-1}}=5$
3	9	$(3,9)$	${\frac {9-1}{3-1}}=4$
2	4	$(2,4)$	${\frac {4-1}{2-1}}=3$
1.5	2.25	$(1.5,2.25)$	${\frac {2.25-1}{1.5-1}}=2.5$
1.3	1.69	$(1.3,1.69)$	${\frac {1.69-1}{1.3-1}}=2.3$
1.1	1.21	$(1.1,1.21)$	${\frac {1.21-1}{1.1-1}}=2.1$
1.05	1.025	$(1.05,1.025)$	${\frac {1.025-1}{1.05-1}}=2.05$
1.01	1.0201	$(1.01,1.0201)$	${\frac {1.0201-1}{1.01-1}}=2.01$

גבול (lim)

התהליך ארוך; בנית טבלה, חישוב ערכים וניסיונות להגיע אל הנקודה הקרובה ביותר אל ערך $x$ של נקודת ההשקה - ארוך ומתיש!

חישוב המתבצע באמצעות $\lim$ מקצר את כל הדרך.

החישוב מתבצע כך : $\lim M$ ופירוק לגורמים (m הוא השיפוע):

1. הפונקציה $y=f(x)$
2. נקודת ההשקה $(x_{0},f(x_{0}))$ .
3. נקודה על הפונקציה : $(x,y)$ ,
4. נחשב את השיפוע בין שתי הנקודות: $m={\frac {y-f(x_{0})}{x-x_{0}}}$ .
5. $\lim$ - נבדוק מה קורה לביטוי כאשר $x$ מתקרב מאוד ל- $x_{0}$ .

דוגמא

נמשיך בדוגמא לעיל. נחשב את ערך הנגזרת שלה באמצעות $\lim$ . על-פי הנתונים :$\lim {\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

טענו כי אנו שואפים שהנקודה השניה (B), תהיה הנקודה הקרובה ביותר לנקודת ההשקה (A). לכן, במקום לרשום את הערכים שקטנים וגדולים מ- x_a (כפי שניתן בדוגמא למעלה), אנו אומרים כי x_b שואף להיות x_b (הנקודה הכי הכי קרובה ל- x_a רוצה להיות שווה x_a). נרשום זאת כך: $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}$

מעתה, אנו מתייחסים אל $x_{b}$ כשווה ל- $x_{a}$ .

נפרק את הגבול לגורמים ונקבל : $\lim _{x\to 1}{\frac {x^{2}-1}{x-1}}={\frac {(x-1)(x+1)}{x-1}}=x+1$

כיון שטענו כי $x_{a}=x_{b}$ , נציב את $x_{a}=1$ בגבול. $\lim _{x\to 1}(x+1)=1+1=2$ .

מכאן, ששיפוע הפונקציה $f(x)=x^{2}$ בנקודה $(1,1)$ הוא 2 - בדיוק אותה מסקנה שגילינו בדרך הטבלאות.

נוסחאות גזירה

פונקציה גזירה

את נוסחא הגבול פיתחו וגילו "גזירות" (דרכים) דומות לפונקציות דומות. כיום, אנו מכירים דרכים שונים לגזירת נגזרות ללא צורך בנוסחאת ה- $\lim$ . לרשימה של פונקציות גזירה ראה נושא הבאה רשימת נגזרות והוכחתן.

פונקציה חדשה

קיים מגוון רחב של פונקציות, אך, רובן הן שילוב של שתים, שלוש ויותר, פונקציות. כלומר, אם נחבר שתי פונקציות (נחבר ערכים של נקודות הפונקציה), נוכל לקבל פונקציה חדשה - פונקצית סכום.

במהלך הכרך נלמד למצוא נגזרת של "פנקציה חדשה" בקלות. גם נושא זה יכלל בערך רשימת נגזרות והוכחתן.