מתוך ויקיספר, אוסף ספרי הלימוד והמדריכים החופשי.

כדאי לדעת: נרענן ונזכיר : מציאת שיפוע ישר : באמצעות נוסחא . באמצעות מקדם m. משוואת הישר : הנוסחא : y − y1 = m(x − x1) דרישות : שתי נקודות או נקודה ושיפוע.

תוכן עניינים 1 הקדמה - מושגי יסוד 2 שיפוע (m) המשיק 2.1 דוגמאות 2.2 נקודת ההשקה חסרה - פונקציה ושיפוע משיק 2.2.1 שאלה 2.2.2 פתרון 2.3 שיפוע משיק חסר - פונקציה ונקודת השקה 2.3.1 שאלה 2.3.2 פתרון 3 משוואת המשיק 3.1 משוואת ישר ע"פ 2 נקודות / נקודה ושיפוע 3.1.1 דוגמא : שיפוע משיק חסר - מציאת משוואת המשיק על פי נקודה שעל הגרף (דוגמא לעיל) 3.1.1.1 שאלה 3.1.1.2 פתרון 3.2 משוואת משיק בנקודה שאינה על גרף הפונקציה 3.2.1 דוגמא 3.2.1.1 שאלה 3.2.1.2 פתרון 3.2.1.2.1 שלב א' - סימון 3.2.1.2.2 שלב ב' - מציאת נקודת ההשקה 3.2.1.2.3 שלב ג' - שיפוע 3.2.1.2.4 שלב ד' - משוואת המשיק 3.2.1.2.5 שלב ה' - מציאת הפרמטר (הנעלם t) 4 המשמעות הגאומטרית

[עריכה] הקדמה - מושגי יסוד

נגזרת הפונקציה עוזרת לנו לגלות ולחקור את הפונקציה. אחד משימושיה הוא מציאת השיפוע של המשיק לגרף הפונקציה. תחילה נגדיר מושגים בסיסים :

1. משיק - ישר העובר דרך נקודה כלשהי על העקומה וכיוונו זהה לכיוון העקומה באותה נקודה.
2. נקודת ההשקה - הנקודה הנמצאת על גרף הפונקציה ודרכה עובר המשיק.

[עריכה] שיפוע (m) המשיק

        שיפוע המשיק הוא נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה.

מכאן, שיש לנו 3 גורמים המעורבים בנוסחא :

1. הפונקציה.
2. נקודת ההשקה - נזכיר : נקודת ההשקה היא נקודה על הפונקציה ועל המשיק (מקיימת את שתי המשוואות).
3. שיפוע המשיק = נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה.

דרך פעולה למציאת שיפוע המשיק :

1. מציאת נגזרת הפונקציה.
2. מציאת ערך X של נקודת ההשקה - הצבת הנתון Y של נקודת ההשקה בפונקציה/משוואת הישר ומציאת ערך X.
3. מציאת נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה : הצבת שיעור X של נקודת ההשקה בנגזרת הפונקציה.

[עריכה] דוגמאות

[עריכה] נקודת ההשקה חסרה - פונקציה ושיפוע משיק

[עריכה] שאלה

• נתונה הפונקציה : y = x².
• שיפוע המשיק : 2.
• מהי נקודת ההשקה?

[עריכה] פתרון

• נגזרת הפונקציה : y'=2x.
• נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה : 2.
• מציאת ערך X של נקודת ההשקה (השוואה בין שתי נגזרות שוות למציאת נעלם): 2x=2. כלומר, x=1.
• מציאת ערך Y של נקודת ההשקה (הצבה בפונקציה) - נקודת ההשקה נמצאת על גרף הפונקציה ולכן היא חייבת לקיים את המשוואה : y(1) = 1² = 1
• נקודת ההשקה : (1,1).

[עריכה] שיפוע משיק חסר - פונקציה ונקודת השקה

[עריכה] שאלה

• נתונה הפונקציה : y = x².
• נקודת ההשקה היא : (3,9)
• מהו שיפוע המשיק?

[עריכה] פתרון

נמצא את שיפוע המשיק. ידוע כי שיפוע המשיק שווה לנגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה. מכאן :

• נגזרת הפונקציה : y'=2x.
• נקודת ההשקה : (3,9)
• נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה : y'(3) = 2*3 =6

[עריכה] משוואת המשיק

כאמור המשיק הוא פונקציה ישרה, ולכן, ניתן לגלותו על פי הנוסחא : y − y₁ = m(x − x₁)

[עריכה] משוואת ישר ע"פ 2 נקודות / נקודה ושיפוע

בניגוד לישר רגיל, קו הישר שלנו; המשיק, בעל קשר ישיר אל הפונקציה ולכן, הנתונים המוצבים בנוסחא יהיו בעלי קשר ישיר אל הפונקציה. כלומר, נוכל להעזר בנוסחא כאשר יש לנו 2 נקודות, אך לא סתם נקודות :

1. נקודת ההשקה - מקיימת את שתי המשוואת; ישר ופונקציה.
2. נקודה על הישר - מקיימת רק את משוואת הישר.

שמהן ניתן לגלות את שיפוע הישר (או נגזרת של הפונקציה בנקודת ההשקה).

[עריכה] דוגמא : שיפוע משיק חסר - מציאת משוואת המשיק על פי נקודה שעל הגרף (דוגמא לעיל)

[עריכה] שאלה

• נתונה הפונקציה : y = x².
• נקודת ההשקה היא : (3,9)
• מהי משוואת המשיק?

[עריכה] פתרון

גורמי משיק משיק :

• נקודה שנמצאת על הישר; על המשיק (נקודת ההשקה) : (3,9).
• שיפוע - נמצא את שיפוע המשיק. ידוע כי שיפוע המשיק שווה לנגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה. מכאן :
  • נגזרת הפונקציה : y'=2x.
  • נקודת ההשקה : (3,9).
  • נגזרת הפונקציה בנקודת ההשקה : y'(3) = 2*3 =6.

שימוש בנוסחא : y − y₁ = m(x − x₁)
הצבה : y - 9 = 6(x - 3).
משוואת המשיק : y = 6x - 9

[עריכה] משוואת משיק בנקודה שאינה על גרף הפונקציה

נתונים :

1. פונקציה.
2. נקודה דרך עובר המשיק.
3. צ"ל : משוואת המשיק.

דרך פתרון :

1. ביטוי נקודת ההשקה :
   • X של נקודת ההשקה = t
   • ביטוי Y - הצבה בפונקציה המקשרת בין X ו-Y.
2. מציאת נגזרת של הפונקציה בנקודת ההשקה :
   • מציאת נגזרת.
   • הצבת t בנגזרת.
3. ביטוי של משוואת המשיק.
4. הצבת נקודה דרכה עובר המשיק - הנקודה צריכה לקיים את המשוואה כיוון שהישר עובר דרכה.
5. מציאת t.
6. הצבה :
   • מציאת נקודת ההשקה - אם צריך.
   • הצבה בביטוי משוואת הישר וגילוי המשוואה.

[עריכה] דוגמא

[עריכה] שאלה

• פונקציה : y = 2x² + 2
• נקודת ההשקה : לא נתון.
• נקודה על הישר : (3,6).
• מהי משוואת המשיק?

[עריכה] פתרון

[עריכה] שלב א' - סימון

על הפונקציה קיימים הרבה נקודות שניתן לסמן בסימון : (x,y).
בכדי לא להתבלבל בין X נקודת ההשקה, לבין נקודה אחרת הנמצאת על הפונקציה, נסמן את X של נקודת ההשקה באות t. כלומר : X של נקודת ההשקה = t.

[עריכה] שלב ב' - מציאת נקודת ההשקה

נגלה את היחס בין X ו-Y של נקודת ההשקה.

• x=t
• y = 2t² + 2
• נקודת ההשקה היא : (t,2t²+2).

[עריכה] שלב ג' - שיפוע

• הנגזרת של הפונקציה : y = 2x² + 2 היא 4x.
• הנגזרת של הפונקציה בנקודת ההשקה היא : y(t)'=4t

[עריכה] שלב ד' - משוואת המשיק

1. נקודת ההשקה : (t,2t²+2).
2. הנגזרת של הפונקציה בנקודת ההשקה היא : y(t)'=4t.

הצבה בנוסחא : y − 2t² + 2 = 4t(x − t)
פיתוח : y = 4tx − 4t² + 2t² + 2 = 4tx − 2t² + 2

[עריכה] שלב ה' - מציאת הפרמטר (הנעלם t)

1. הנקודה (3,6) נמצאת על הישר y = 4tx − 2t² + 2, ולכן, היא צריכה לקיים את המשוואה.
2. כלומר, נציב את ערכי X ו-Y של ההנקודה במשוואה : 6 = 12t − 2t² + 2
3. נעביר את המספרים לאגף שמאל ונקבל : 2t² − 12t + 4 = 0
4. נחלק ב-2 : t² − 6t + 2
5. נפתור משוואה ריבועית
6. נקבל שני ערכי t, שהם למעשה ערכי X של נקודות ההשקה.
7. נמצא את ערכי נקודת ההשקה ע"י הצבת הפתרון שהתקבל ב-t של נקודת ההשקה.
8. עתה יש לנו 2 נקודות השקה אפשריות לפונקציה. מהן נוכל להרכיב 2 משיקים אפשרים לפונקציה.

[עריכה] המשמעות הגאומטרית

לכל פונקציה יש גרף.
לכל נקודה בגרף אפשר להעביר משיק. (למעט מקרים מסויימים, מהם נתעלם כרגע).
למשיק הזה יש שיפוע - מספר שתלוי בזוית של המשיק ביחס לצירים (אך אינו תלוי בשום צורה באורך של המשיק!).
השיפוע מחושב בתור הטנגנס של המשולש ישר הזוית, שאותו המשיק הוא היתר שלו.