הסתברות/מבוא/הסתברות מותנית

הסתברות מותנית היא ההסתברות של מאורע כלשהו בהנחה שמאורע אחר ארע.

הגדרה

הגדרה: הסתברות מותנית יהיו $A,B$ שני מאורעות, כאשר $\mathbb {P} (B)\neq 0$. ההסתברות המותנית של $A$ בהנתן $B$ היא $\mathbb {P} (A|B)\equiv {\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}$

כפי שאפשר לשים לב, ההסתברות המותנית אינה מוגדרת במקרה $\mathbb {P} (B)=0$. אא"כ יצוין אחרת, נניח במובלע כי זה אינו המצב.

דוגמא

נניח כי בתל־אביב גרים 100 בנים ו־20 בנות, ואילו בחיפה גרים 40 בנים ו־50 בנות. נניח כי בוחרים אדם כלשהו באקראי.

• מה ההסתברות כי בחרנו בבת?
  • ישנן 70 בנות מתוך 210 אנשים סה"כ מהם אנו בוחרים אחד, לכן ההסתברות לבחור בת הוא ${\tfrac {70}{210}}$, כלומר שליש.
• מה ההסתברות כי בחרנו בבת, אם ידוע כי האדם הנבחר גר בתל־אביב?
  • כאן ההסתברות מותנית, ונחשב לפי ההגדרות לעיל. המאורע A הוא בחירת בת והמאורע B הוא שנבחר תושב תל־אביב. קל לראות כי $P(A)={\tfrac {1}{3}}$ וכן $P(B)={\tfrac {120}{210}}={\tfrac {4}{7}}$. ההסתברות $P(A\cap B)$ היא ההסתברות להיות בת וגם בתל־אביב – ישנן 20 כאלה (מתוך אוכלוסיה של 210 סה"כ), ולכן $P(A\cap B)={\tfrac {2}{21}}$. כעת נציב בנוסחא לעיל, ונקבל כי ההסתברות לבחור בת בהנתן שהאדם שבחרנו הוא מתל־אביב היא:

$$P(A|B)={\frac {\tfrac {2}{21}}{\tfrac {4}{7}}}={\tfrac {1}{6}}$$

תכונות

המשפט הבא מראה כי כל שלוש התכונות המאפיינות הסתברות, אותן ראינו במודל ההסתברותי, מאפיינות גם הסתברות מותנית.

משפט: הסתברות מותנית היא הסתברות נניח כי $B$ הוא מאורע כלשהו. אז ההסתברות המותנית של מרחב המדגם שווה 1, או $\mathbb {P} (\Omega |B)=1$. לכל מאורע הסתברות מותנית אי־שלילית $\forall {A\subseteq \Omega }\quad 0\leq \mathbb {P} (A|B)\leq 1$. אדיטיביות: עבור כל שני מאורעות זרים, הסתברות איחודם היא סכום הסתברויותיהן $\forall {A_{1},A_{2}\subseteq \Omega }\ {\text{ s.t. }}\ A_{1}\cap A_{2}=\varnothing \quad \implies \quad \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}|B)=\mathbb {P} (A_{1}|B)+\mathbb {P} (A_{2}|B)$

בתרגיל:הסתברות מותנית היא הסתברות תתבקש להוכיח זאת.

מאותה סיבה, גם שאר התכונות של הסתברות מתקיימות לגבי הסתברות מותנית, כפי שאפשר לראות לדוגמה במשפט הבא.

משפט: הסתברות מותנית של משלים $\mathbb {P} (A^{c}|B)=1-\mathbb {P} (A|B)$

בתרגיל:הסתברות מותנית של משלים תתבקש להוכיח זאת.

הסתברות מותנית של מאורעות בלתי־תלויים

התניה במאורע בלתי־תלוי אינה משנה את ההסתברות:

משפט: אם $A,B$ מאורעות בלתי־תלויים, אז $\mathbb {P} (A|B)=\mathbb {P} (A)$ $\mathbb {P} (A|B^{c})=\mathbb {P} (A)$

הוכחה: $\mathbb {P} (A|B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}={\frac {\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)}{\mathbb {P} (B)}}=\mathbb {P} (A)$

המקרה האקראי הסימטרי

במודל ההסתברותי ראינו שבמקרה מרחב המדגם הסימטרי, הסתברות היא פרופורציה. נראה שהתכונה מתקיימת גם עבור הסתברות מותנית.

נתבונן בתרשים בצד שמאל. לפי ההגדרה, ההסתברות המותנית הנה $\mathbb {P} (A|B)={\frac {\mathbb {P} (A\cap B)}{\mathbb {P} (B)}}={\dfrac {\dfrac {|A\cap B|}{|\Omega |}}{\dfrac {|B|}{|\Omega |}}}={\frac {|A\cap B|}{|B|}}$.

כלומר, בהנחה ש־$B$ ארע, אז מדובר בפרופורציה של השטח שמשותף גם ל־$A$, כלומר הפרופורציה של $A$ בהנחה שיש לבחור מתוך $B$.

קישורים חיצוניים

ערך בוויקיפדיה: הסתברות מותנית

הפרק הקודם: אי תלות בין מאורעות

הסתברות מותנית תרגילים

הפרק הבא: נוסחת ההסתברות השלמה