מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
מאורעות בלתי-תלויים הם מאורעות אשר מתרחשים "בלי קשר" אחד לשני - הם אינם משפיעים זה על הסתברותו של זה.
הגדרה: אי-תלות בין מאורעות
המאורעות
A
,
B
{\displaystyle A,B}
בלתי-תלויים אם
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
)
⋅
P
(
B
)
{\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)}
במקרה הכללי, המאורעות
A
1
,
…
,
A
n
{\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}
i
1
,
…
,
i
m
∈
{
1
,
…
,
n
}
{\displaystyle i_{1},\ldots ,i_{m}\in \{1,\dots ,n\}}
P
(
⋂
i
=
i
1
,
…
,
i
m
A
i
)
=
∏
i
=
i
1
,
…
,
i
m
P
(
A
i
)
{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcap _{i=i_{1},\dots ,i_{m}}A_{i}\right)=\prod _{i=i_{1},\dots ,i_{m}}\mathbb {P} (A_{i})}
דוגמה:
נניח שאנו זורקים שני מטבעות הוגנים. נגדיר את המאורע
A
{\displaystyle A}
B
{\displaystyle B}
Ω
=
{
(
T
,
T
)
,
(
T
,
H
)
,
(
H
,
T
)
,
(
H
,
H
)
}
{\displaystyle \Omega =\{(T,T),(T,H),(H,T),(H,H)\}}
A
=
{
(
H
,
H
)
,
(
H
,
T
)
}
{\displaystyle A=\{(H,H),(H,T)\}}
B
=
{
(
T
,
H
)
,
(
H
,
H
)
}
{\displaystyle B=\{(T,H),(H,H)\}}
P
(
A
∩
B
)
=
1
4
=
P
(
A
)
⋅
P
(
B
)
=
1
2
⋅
1
2
{\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B)={\frac {1}{4}}=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}
באופן כללי, אם יש לנו
n
{\displaystyle n}
m
{\displaystyle m}
n
{\displaystyle n}
חוסר תלות אפשר להגדיר על מאורעות או משלימיהם בצורה שקולה.
משפט:
אם
A
,
B
{\displaystyle A,B}
{
A
c
,
B
c
}
;
{
A
c
,
B
}
;
{
A
,
B
c
}
{\displaystyle \{A^{c},B^{c}\}\ ;\ \{A^{c},B\}\ ;\ \{A,B^{c}\}}
הוכחה:
נניח כי
A
,
B
{\displaystyle A,B}
A
∩
B
c
{\displaystyle A\cap B^{c}}
A
∩
B
{\displaystyle A\cap B}
P
(
A
∩
B
c
)
+
P
(
A
∩
B
)
=
P
(
A
∩
(
B
∪
B
c
)
)
=
P
(
A
)
{\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B^{c})+\mathbb {P} (A\cap B)=\mathbb {P} (A\cap (B\cup B^{c}))=\mathbb {P} (A)}
לפי חוסר התלות,
P
(
A
∩
B
c
)
+
P
(
A
)
⋅
P
(
B
)
=
P
(
A
)
⇒
P
(
A
∩
B
c
)
=
P
(
A
)
(
1
−
P
(
B
)
)
=
P
(
A
)
⋅
P
(
B
c
)
{\displaystyle \mathbb {P} (A\cap B^{c})+\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B)=\mathbb {P} (A)\Rightarrow \mathbb {P} (A\cap B^{c})=\mathbb {P} (A){\big (}1-\mathbb {P} (B){\big )}=\mathbb {P} (A)\cdot \mathbb {P} (B^{c})}
אפשר כמובן להכליל משפט זה ליותר משני מאורעות.
לפעמים קבוצת מאורעות אינם בלתי-תלויים, אך כל שני מאורעות מתוכם אכן בלתי-תלויים (זו דרישה חלשה יותר).
הגדרה: אי-תלות בזוגות
A
1
⋯
A
n
{\displaystyle A_{1}\cdots A_{n}}
בלתי-תלויים בזוגות אם לכל
i
≠
j
{\displaystyle i\neq j}
P
(
A
i
∩
A
j
)
=
P
(
A
i
)
⋅
P
(
A
j
)
{\displaystyle \mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})=\mathbb {P} (A_{i})\cdot \mathbb {P} (A_{j})}
קל לראות כי אם
A
1
,
…
,
A
n
{\displaystyle A_{1},\dots ,A_{n}}
דוגמה:
נניח שמגרילים שלושה מספרים:
את המספר הראשון קובעים בעזרת הטלת מטבע הוגן. אם התוצאה "עץ", הערך הוא 0, ואחרת הוא 1.
את המספר השני קובעים באותו אופן ע"י מטבע הוגן אחר.
המספר השלישי הוא פעולת ה-xor על שני המספרים הראשונים. קל לראות ששלושת המאורעות של קבלת 0 אינם בלתי-תלויים, אך קבלת 0 בכל שניים משלושת המספרים אכן בלתי-תלויים.
