מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
נהוג לקרוא לוקטור - אקראי, ולמשתנה - מקרי. וקטור אקראי (נהוג לקצר: ו"א) זהו וקטור שכל איבריו משתנים מקריים.
הגדרה: וקטור אקראי
וקטור אקראי הוא וקטור שכל אבריו הם משתנים מקריים. נסמן:
X
→
=
(
X
1
,
X
2
,
.
.
.
,
X
n
)
T
{\displaystyle \ {\vec {X}}=(X_{1},X_{2},...,X_{n})^{T}}
הגדרה: פונקצית הסתברות של וקטור אקראי
הפונקציה
P
X
1
,
.
.
.
,
X
n
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
=
P
(
{
X
1
=
x
1
}
∩
{
X
2
=
x
2
}
∩
.
.
.
∩
{
X
n
=
x
n
}
)
{\displaystyle \ \mathbb {P} _{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})=\mathbb {P} (\{X_{1}=x_{1}\}\cap \{X_{2}=x_{2}\}\cap ...\cap \{X_{n}=x_{n}\})}
X
→
{\displaystyle \ {\vec {X}}}
שימו לב כי גם כאן פונקצית ההסתברות יכולה לקבל ערכים אי-שליליים בלבד. פונקציה זו נקראת גם פונקצית ההסתברות המשותפת.
הגדרה: פונקצית התפלגות של וקטור אקראי
F
X
1
,
.
.
.
,
X
n
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
=
P
(
{
X
1
≤
x
1
}
∩
{
X
2
≤
x
2
}
∩
.
.
.
∩
{
X
n
≤
x
n
}
)
{\displaystyle \ F_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})=\mathbb {P} (\{X_{1}\leq x_{1}\}\cap \{X_{2}\leq x_{2}\}\cap ...\cap \{X_{n}\leq x_{n}\})}
[ עריכה ] על מנת לפשט את הדיון בפונקצית ההתפלגות, נניח כי מדובר בו"א דו-מימדי:
F
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
P
(
X
≤
x
,
Y
≤
y
)
{\displaystyle \ F_{X,Y}(x,y)=\mathbb {P} (X\leq x,Y\leq y)}
0
≤
F
X
,
Y
(
x
,
y
)
≤
1
{\displaystyle \ 0\leq F_{X,Y}(x,y)\leq 1}
lim
x
→
−
∞
F
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
0
,
lim
y
→
−
∞
F
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
0
{\displaystyle \ \lim \limits _{x\to -\infty }F_{X,Y}(x,y)=0\ ,\ \lim \limits _{y\to -\infty }F_{X,Y}(x,y)=0}
lim
x
→
∞
F
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
P
(
Y
≤
y
)
=
F
Y
(
y
)
,
lim
y
→
∞
F
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
P
(
X
≤
x
)
=
F
X
(
x
)
{\displaystyle \ \lim \limits _{x\to \infty }F_{X,Y}(x,y)=\mathbb {P} (Y\leq y)=F_{Y}(y)\ ,\ \lim \limits _{y\to \infty }F_{X,Y}(x,y)=\mathbb {P} (X\leq x)=F_{X}(x)}
F מונוטונית עולה בכל רכיב בנפרד.
יהי A המלבן שקודקודיו
(
x
,
y
)
,
(
x
+
a
,
y
)
,
(
x
,
y
+
b
)
,
(
x
+
a
,
y
+
b
)
;
a
,
b
≥
0
{\displaystyle \ (x,y),(x+a,y),(x,y+b),(x+a,y+b)\ ;\ a,b\geq 0}
P
(
{
x
,
y
}
∈
A
)
=
F
X
,
Y
(
x
+
a
,
y
+
b
)
−
F
X
,
Y
(
x
,
y
+
b
)
−
F
X
,
Y
(
x
+
a
,
y
)
+
F
X
,
Y
(
x
,
y
)
≥
0
{\displaystyle \ \mathbb {P} (\{x,y\}\in A)=F_{X,Y}(x+a,y+b)-F_{X,Y}(x,y+b)-F_{X,Y}(x+a,y)+F_{X,Y}(x,y)\geq 0}
שימו לב כי גם כאן ההסתברות פרופורציונית לשטח.
הגדרה: וקטור אקראי בדיד
ו"א נקרא בדיד אם הוא מקבל מספר סופי או ניתן להימנות של ערכים.
הגדרה: פונקצית הסתברות שולית של וקטור אקראי בדיד
פונקצית ההסתברות השולית של המ"מ Xi מוגדרת על ידי:
P
(
X
i
=
x
i
)
=
∑
x
1
∑
x
2
.
.
.
∑
x
i
−
1
∑
x
i
+
1
.
.
.
∑
x
n
P
X
1
,
.
.
.
,
X
n
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle \ \mathbb {P} (X_{i}=x_{i})=\sum \limits _{x_{1}}\sum \limits _{x_{2}}...\sum \limits _{x_{i-1}}\sum \limits _{x_{i+1}}...\sum \limits _{x_{n}}\mathbb {P} _{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})}
i בלבד.
למעשה, מה שמתבצע בחישוב ההסתברות השולית הוא סכימה על כל המשתנים פרט ל-xi , והמשמעות היא שכל האירועים, פרט לאלו המתוארים על ידי xi , קרו בוודאות.
שימו לב כי בהינתן פונקצית הסתברות משותפת, ניתן למצוא את כל פונקציות ההסתברות השוליות, אך ההפך אינו נכון: בהינתן כל פונקציות ההסתברות השוליות לא ניתן לדעת את פונקצית ההסתברות המשותפת. אם הו"א
X
→
{\displaystyle \ {\vec {X}}}
i בדידים.
∑
x
1
∑
x
2
.
.
.
∑
x
n
P
X
1
,
.
.
.
,
X
n
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
=
1
{\displaystyle \ \sum \limits _{x_{1}}\sum \limits _{x_{2}}...\sum \limits _{x_{n}}\mathbb {P} _{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})=1}
בצורה פשוטה יותר: אם
X
→
=
(
X
1
,
X
2
)
{\displaystyle \ {\vec {X}}=(X_{1},X_{2})}
∑
i
∞
∑
j
∞
P
X
1
,
X
2
(
i
,
j
)
=
1
{\displaystyle \ \sum \limits _{i}^{\infty }\sum \limits _{j}^{\infty }\mathbb {P} _{X_{1},X_{2}}(i,j)=1}
יהי
X
=
(
X
1
,
X
2
)
{\displaystyle \ X=(X_{1},X_{2})}
P
(
X
1
=
x
1
,
X
2
=
x
2
)
=
c
2
x
2
{\displaystyle \ \mathbb {P} (X_{1}=x_{1},X_{2}=x_{2})={c \over 2^{x_{2}}}}
1
≤
x
1
≤
x
2
<
∞
{\displaystyle \ 1\leq x_{1}\leq x_{2}<\infty }
2 . אז: פונקצית ההסתברות השולית של X1 היא:
P
X
1
(
x
1
)
=
∑
x
1
≤
x
2
c
2
x
2
=
c
2
x
1
−
1
{\displaystyle \ \mathbb {P} _{X_{1}}(x_{1})=\sum \limits _{x_{1}\leq x_{2}}{c \over 2^{x_{2}}}={c \over 2^{x_{1}-1}}}
פונקצית ההסתברות השולית של X2 היא:
P
X
2
(
x
2
)
=
∑
x
1
=
1
x
2
c
2
x
2
=
c
2
x
2
x
2
{\displaystyle \ \mathbb {P} _{X_{2}}(x_{2})=\sum \limits _{x_{1}=1}^{x_{2}}{c \over 2^{x_{2}}}={c \over 2^{x_{2}}}x_{2}}
הגדרה: וקטור אקראי רציף
ו"א
X
→
=
(
X
1
,
.
.
.
,
X
n
)
{\displaystyle \ {\vec {X}}=(X_{1},...,X_{n})}
f
X
1
,
.
.
.
,
X
n
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle \ f_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})}
R
{\displaystyle \ \mathbb {R} }
P
(
X
→
∈
A
)
=
∫
.
.
.
∫
f
X
1
,
.
.
.
,
X
n
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
d
x
n
.
.
.
d
x
1
{\displaystyle \ \mathbb {P} ({\vec {X}}\in A)=\int \ ...\int f_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})dx_{n}...dx_{1}}
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
{\displaystyle \ (x_{1},...,x_{n})}
∫
−
∞
∞
.
.
.
∫
−
∞
∞
f
=
1
{\displaystyle \ \int \limits _{-\infty }^{\infty }...\int \limits _{-\infty }^{\infty }f=1}
במקרה הרציף, פונקצית ההתפלגות מקבלת את הצורה:
F
X
1
,
.
.
.
,
X
n
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
=
∫
−
∞
x
1
.
.
.
∫
−
∞
x
n
f
X
1
,
.
.
.
,
X
n
(
ξ
1
,
.
.
.
,
ξ
n
)
d
ξ
n
.
.
.
d
ξ
1
{\displaystyle \ F_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})=\int \limits _{-\infty }^{x_{1}}...\int \limits _{-\infty }^{x_{n}}f_{X_{1},...,X_{n}}(\xi _{1},...,\xi _{n})d\xi _{n}...d\xi _{1}}
אם כן, פונקצית הצפיפות המשותפת תתקבל על ידי:
f
X
1
,
.
.
.
,
X
n
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
=
∂
n
F
X
1
,
.
.
.
,
X
n
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
∂
x
1
.
.
.
∂
x
n
{\displaystyle \ f_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})={\partial ^{n}F_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n}) \over \partial x_{1}...\partial x_{n}}}
הגדרה: פונקצית התפלגות שולית (רציפה)
נגדיר, בלי הגבלת הכלליות, את פונקצית ההתפלגות השולית של המ"מ X1 :
F
X
1
(
x
1
)
=
∫
−
∞
x
1
∫
−
∞
∞
.
.
.
∫
−
∞
∞
f
X
1
,
.
.
.
,
X
2
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
d
ξ
n
.
.
.
d
ξ
1
{\displaystyle \ F_{X_{1}}(x_{1})=\int \limits _{-\infty }^{x_{1}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }...\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1},...,X_{2}}(x_{1},...,x_{n})d\xi _{n}...d\xi _{1}}
אם נגזור לפי x1 נקבל את פונקצית הצפיפות השולית:
הגדרה: פונקצית צפיפות שולית
נגדיר בלי הגבלת הכלליות, את פונקצית הצפיפות השולית של המ"מ X1 :
f
X
1
(
x
1
)
=
∫
−
∞
∞
.
.
.
∫
−
∞
∞
f
X
1
,
.
.
.
,
X
n
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
d
ξ
2
.
.
.
d
ξ
n
{\displaystyle \ f_{X_{1}}(x_{1})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }...\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X_{1},...,X_{n}}(x_{1},...,x_{n})d\xi _{2}...d\xi _{n}}
צפיפות אחידה בו"א דו מימדי:
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
=
{
c
,
x
2
+
y
2
<
1
0
,
x
2
+
y
2
>
1
⇒
1
=
∬
x
2
+
y
2
<
1
c
d
x
d
y
=
c
π
⇒
c
=
1
π
{\displaystyle \ f_{X,Y}(x,y)={\begin{cases}c,&x^{2}+y^{2}<1\\0,&x^{2}+y^{2}>1\end{cases}}\quad \Rightarrow \quad 1=\iint \limits _{x^{2}+y^{2}<1}cdxdy=c\pi \ \Rightarrow \ c={1 \over \pi }}
מהי אם כן, ההסתברות שהוקטור ימצא בשטח
A
=
{
(
x
,
y
)
|
x
2
+
y
2
<
r
0
2
,
0
≤
r
0
≤
1
}
{\displaystyle \ A=\{(x,y)|x^{2}+y^{2}<r_{0}^{2}\ ,\ 0\leq r_{0}\leq 1\}}
P
(
{
x
,
y
}
∈
A
)
=
∬
A
1
π
d
x
d
y
=
r
0
2
{\displaystyle \ \mathbb {P} (\{x,y\}\in A)=\iint \limits _{A}{1 \over \pi }dxdy=r_{0}^{2}}
כך למשל, הסיכוי להמצא בעיגול בעל רדיוס 0.5 הוא 0.25.
נחשב כעת את פונקצית הצפיפות השולית של X:
f
X
(
x
)
=
∫
−
∞
∞
f
X
,
Y
(
x
,
y
)
d
y
=
{
∫
−
1
−
x
2
1
−
x
2
1
π
d
y
=
2
1
−
x
2
π
,
|
x
|
≤
1
0
,
|
x
|
≥
1
{\displaystyle \ f_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X,Y}(x,y)dy={\begin{cases}\int \limits _{-{\sqrt {1-x^{2}}}}^{\sqrt {1-x^{2}}}{1 \over \pi }dy={2{\sqrt {1-x^{2}}} \over \pi },&|x|\leq 1\\0,&|x|\geq 1\end{cases}}}
עבור פונקצית הצפיפות השולית של Y נקבל תושבה דומה.
כללית: אם D הוא תחום ב-
R
n
{\displaystyle \ \mathbb {R} ^{n}}
f
X
1
,
.
.
.
X
n
(
x
1
,
.
.
.
,
x
n
)
=
{
1
V
,
{
x
1
,
.
.
.
,
x
n
}
∈
D
0
,
{
x
1
,
.
.
.
,
x
n
}
∉
D
{\displaystyle \ f_{X_{1},...X_{n}}(x_{1},...,x_{n})={\begin{cases}{1 \over V},&\{x_{1},...,x_{n}\}\in D\\0,&\{x_{1},...,x_{n}\}\not \in D\end{cases}}}
אז:
P
(
{
x
1
,
.
.
.
,
x
n
}
∈
A
)
=
|
A
∩
D
|
|
V
|
{\displaystyle \ \mathbb {P} (\{x_{1},...,x_{n}\}\in A)={|A\cap D| \over |V|}}
