מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
אי שיוויונים[עריכה]
- Boole's inequality - איחוד תחת P:
![{\displaystyle \ \mathbb {P} (A_{1}\cup A_{2}\cup ...\cup A_{n})\leq \mathbb {P} (A_{1})+\mathbb {P} (A_{2})+...+\mathbb {P} (A_{n})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368c6f3ac158bd074d7b1af98528845ea3204313)
ושויון מתקיין אם
לכל
.
- Bonferroni's inequality - איחוד-חיתוך:
![{\displaystyle \ \mathbb {P} \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)\geq \sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A_{i})-\sum \limits _{i<j}\mathbb {P} (A_{i}\cap A_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2c72616a35b030a81b8634fe5de3a1f8f6349f8)
![{\displaystyle \ \mathbb {P} (A_{1}\cap ...\cap A_{n})\geq \mathbb {P} (A_{1})+...+\mathbb {P} (A_{n})-(n-1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5f9a5b128e6b78cbd7b3833770963427b7e4b07)
- סטייה ריבועית מינימלית מהתוחלת:
![{\displaystyle \ \mathbb {E} (X-a)^{2}\geq \mathbb {E} (X-\mu )^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81e89c2927fdfd316a25c6ab8ebf5636af02c3d7)
- מומנטים (נובע מאי שליליות של השונות):
![{\displaystyle \ \mathbb {E} X^{2}\geq (\mathbb {E} X)^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/472e68851588ef8ce0961536e9a9f959a950cd38)
![{\displaystyle \ \mathbb {P} (|x-\mu _{x}|>a\sigma _{x})<{1 \over a^{2}}\ ,\ \mathbb {P} (|x-\mu _{x}|>b)<{\sigma _{x}^{2} \over b^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c3cf09d4c1d03bdfb09cc8f9b428dc92dd0ee23)
- מרקוב (לכל מ"מ אי-שלילי ולכל a>0) מתקיים:
![{\displaystyle \ \mathbb {P} (x\geq a)\leq {\mathbb {E} (X) \over a}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2bbbaf455814a99dfbbd547b7d7551645170ff46)
![{\displaystyle \ \mathbb {E} h(X)\geq h(\mathbb {E} X)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0c85b8e6864966f876bf1ae08eec3f2d6ac28868)
![{\displaystyle \ |\sigma _{X,Y}|\leq \sigma _{X}\sigma _{Y}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5a21922362cc0df41f72c6f033fc280c9ec9d4f)
נוסחאות טרנספורמציה[עריכה]
- פונקציה של משתנה מקרי: אם פונקציה h מונוטונית ממש וגזירה בתומך של X ו-(Y=h(X אז ל-Y יש צפיפות בתנאי של-X יש צפיפות והיא:
![{\displaystyle \ f_{Y}(y)=|h^{-1}(y)'|f_{X}(h^{-1}(y))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f22466f750bec3aa74d100b4c13e37fc2e8cf03c)
- פונקציה של וקטור אקראי: אם
חח"ע וגזירה, והיעקוביאן שונה מאפס, אז הצפיפות של Y היא:
![{\displaystyle \ f_{\vec {Y}}(y_{1},...,y_{n})=\left|{\partial x_{1},...,x_{n} \over \partial h_{1},...,h_{n}}\right|f_{\vec {X}}(h^{-1}(y_{1},...,y_{n}))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a183e6a573a6ee8da7c7fcf5e6b9fcba5d5e357)
- תוחלת של טרנספורמציה: אם X,Y מ"מ, ו-Y=h(X) רציפה למקוטעין אז ל-Y יש תוחלת בתנאי של-X יש תוחלת והיא:
![{\displaystyle \ \mathbb {E} h(X)=\mathbb {E} Y=\int \limits _{-\infty }^{\infty }h(x)f_{X}(x)dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f23e0a4f3c8cace936f58c9db32c03ce5d391658)
- תוחלת של טרנספורמציה של ו"א: יהי
ו"א רציף, ויהי
, אז
.
-
![{\displaystyle \ \mathbb {P} (A)=\sum \limits _{i=1}^{n}\mathbb {P} (A|B_{i})\mathbb {P} (B_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d732f81ad391b1702b717df3faf9d10112f3391)
![{\displaystyle \ f_{X}(x)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f_{X|Y}(x|y)f_{Y}(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/248a0acfa0f3d176d254eef34689f82dd5d7f864)
-
![{\displaystyle \ \mathbb {P} (A|B)={\mathbb {P} (B|A)\mathbb {P} (A) \over \mathbb {P} (B)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eba8f4f12d6e956f8a2e1a6c97772ca124e8d9fa)
![{\displaystyle \ f_{X|Y}(x|y)={f_{Y|X}(y|x)f_{X}(x) \over f_{Y}(y)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89ff6924a1f6d04d3dfce8457be8923a23c93589)
- שונות של משתנים שאינם בלתי-תלויים:
![{\displaystyle \ Var\left(\sum \limits _{i=1}^{n}X_{i}\right)=\sum \limits _{i=1}^{n}Var(X_{i})+\sum \limits _{i\neq j}^{n}Cov(X_{i},X_{j})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5da7dcc782dafd85bb3235b7da9940913c00e157)
טורים שימושיים[עריכה]
סדרה הנדסית (
):
![{\displaystyle \ \sum _{n=0}^{\infty }x^{n}={1 \over 1-x}\quad ,\quad \sum _{n=0}^{\infty }x^{2n}={1 \over 1-x^{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb90a13b031a9db84dc29c7b9e3cb283bd4dff07)
סדרה חשבונית:
טור חזקות סופי:
![{\displaystyle \ 1+n+n^{2}+...+n^{k}={1-n^{k+1} \over 1-n}\ ,\ n\neq 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fff2b0a511be46f2bd2201bbb9e25302ba4d9614)
טור טיילור לאקספוננט:
![{\displaystyle 1+x+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+...=\sum _{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=e^{x}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/abf62381db34bee267d230c4db525665b794d560)
הפיתוח הבינומי:
![{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c80c2502413b225d48e79a475156a5f7b677e21)
אינטגרלים שימושיים[עריכה]
![{\displaystyle \ \int \limits _{0}^{\infty }x^{n}e^{-ax}={n! \over a^{n+1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5f86a0bb8aa8ab394f3ccded70451abf89bf162)
הפרק הקודם: חזאים
|
דף נוסחאות |
- |