מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה
כללי[עריכה]
- כלל המעבר - אם A שווה ל-B וB שווה ל-C אזהי ש-A שווה ל-C.
ישרים[עריכה]
- בין שתי נקודות עובר ישר אחד
- זוויות קודקודיות הן שוות
- זוויות צמודות משלימות ל180 מעלות
- זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל180 מעלות
- זוויות מתחלפות או מתאימות בין ישרים מקבילים שוות
- דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד בלבד המקביל לישר
משולשים[עריכה]
- סכום זוויות במשולש הוא 180°
- זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות שהיא לא נוגעת בהן
- חוצה זווית פנימית במשולש מקצה על הצלע שמול קטעים פרופורציוניים לצלעות שליד
- משפט חפיפה צ.צ.צ.
- משפט חפיפה צ.ז.צ.
- משפט חפיפה ז.צ.ז. או ז.ז.צ.
- משפט חפיפה צ.צ.ז.
- משפט דמיון ז.ז.
- משפט דמיון צ.צ.צ.
- משפט דמיון צ.צ.ז.
- משפט דמיון צ.ז.צ.
- במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות ולהפך
- במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס, התיכון לבסיס וחוצה זווית הראש מתלכדים ולהפך
- במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות ולהפך
- במשולש שווה צלעות הגבהים, התיכונים וחוצי הזווית מתלכדים ולהפך
- במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר ולהפך
- משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.
- משפט הסינוסים: בכל משולש מתקיים . (α = הזווית שמול a, וכן לגבי β ו-b, וגם γ ו-c. R הוא רדיוס המעגל החוסם).
- משפט הקוסינוסים: בכל משולש מתקיים . (γ = הזווית שמול c).
- שטח משולש על פי גובה הוא
- שטח משולש על פי שתי צלעות וזווית הוא (α = הזווית בין a ל-b)
- שטח משולש על פי צלע וזוויות הוא (α = הזווית שמול a)
מרובעים[עריכה]
- סכום זוויות מרובע הוא 360°
- בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה ולהיפך
- בדלתון האלכסון הראשי חוצה את המשני ולהיפך
- האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זויות הראש
- שטח אלכסון שווה למכפלת האלכסונים חלקי 2
- בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים ולהיפך
- שטח טרפז שווה למכפלת הגובה בממוצע הבסיסים
- במקבילית צלעות נגדיות שוות ולהיפך
- במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה ולהיפך
- שטח מקבילית שווה למכפלת הגובה בצלע שהוא יורד אליה
- במעוין צלעות נגדיות מקבילות
- במעוין האלכסונים הם חוצי זוית
- שטח מעוין שווה למכפלת האלכסונים חלקי 2 או מכפלת הגובה בצלע
- במלבן האלכסונים שווים
- במלבן האלכסונים חוצים זה את זה
- שטח מלבן שווה לאורך כפול הרוחב
- בריבוע האלכסונים שווים זה לזה, חוצים זה את זה, מאונכים זה לזה וחוצי זווית, ולהיפך
- שטח ריבוע שווה לצלע בחזקת 2
- בכל מרובע, שטח המרובע שווה למכפלת האלכסונים בסינוס הזווית שביניהם חלקי 2
מעגלים[עריכה]
![](http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/7/78/Angle_between_strings_in_a_circle.jpg/220px-Angle_between_strings_in_a_circle.jpg)
- מיתר העובר במרכז המעגל הוא קוטר ולהיפך
- קוטר הוא המיתר הכי ארוך במעגל ולהיפך
- זווית מרכזית במעגל שווה פי 2 מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת
- זוויות היקפיות או מרכזיות הנשענות על קשתות שוות או מיתרים שווים, שוות ולהיפך
- זווית בין שני מיתרים הנפגשים בתוך המעגל שווה לסכום הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות שהמיתרים יוצרים בקצותיהם (ראה תמונה)
- היקף מעגל הוא
- שטח עיגול הוא
- אורך קשת הנשענת על זוית מרכזית הוא כאשר הזוית היא ברדיאנים, או אם הזוית היא במעלות
- שטח גיזרה הנשענת על זוית מרכזית הוא או
- משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה ולהיפך
- שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים
- אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק
- אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני
- כל משולש ניתן לחסום במעגל
- בכל משולש ניתן לחסום מעגל
- במרובע החסום במעגל, סכום זוויות נגדיות הוא 180°
- מרובע שבו סכום זויות נגדיות הוא 180°, הוא בר-חסימה במעגל
- במרובע החוסם מעגל, סכום צלעות נגדיות שווה
- במרובע שבו סכום צלעות נגדיות שווה ניתן לחסום בו מעגל
- כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל
- בכל מצולע משוכלל ניתן לחסום מעגל
- מרכז מעגל החוסם מצולע הוא מפגש האנכים האמצעיים
- מרכז מעגל החסום במצולע הוא מפגש חוצי הזווית
- אנך אמצעי למיתר עובר במרכז המעגל, חוצה את הקשת ואת הזווית המרכזית ולהיפך
- מיתרים הנמצאים במרחקים שווים מהמרכז שווים ולהיפך
- מיתר הנמצא במרחק גדול מהמרכז ביחס למיתר אחר, קטן ממנו ולהיפך