מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המשפט היסודי של האלגברה

לכל פולינום לא קבוע בעל מקדמים מרוכבים קיים לפחות שורש מרוכב אחד.

בנוסף, מספר שורשי הפולינום (עם ריבוי) שוה למעלת הפולינום.

הוכחה

יהי פולינום לא קבוע

$p(z)=a_{n}z^{n}+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots +a_{1}z+a_{0}\quad (a_{n}\neq 0)$

אזי מתקיים $\lim _{z\to \infty }|p(z)|=\infty$. מאחר שהפונקציה $|p(z)|$ רציפה, קיים $z_{0}\in \mathbb {C}$ כלשהוא עבורו $|p(z_{0})|=\min _{z\,\in \,\mathbb {C} }|p(z)|$.

כעת ניתן לרשום $p(z)=p(z_{0})+(z-z_{0})^{m}q(z)$, כאשר $m\in \mathbb {N}$ ו־$q(z)$ פולינום המקיים $q(z_{0})\neq 0$.

יהי ${\overline {p(z_{0})}}$ הצמוד המרוכב של $p(z_{0})$. אזי לכל $z\in \mathbb {C}$ מתקיים:

${\begin{aligned}|p(z_{0})|^{2}\leq |p(z)|^{2}=|p(z_{0})|^{2}+|z-z_{0}|^{2m}|q(z)|^{2}+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}(z-z_{0})^{m}q(z)\,\right]\\[5pt]|z-z_{0}|^{2m}|q(z)|^{2}+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}(z-z_{0})^{m}q(z)\,\right]\geq 0\end{aligned}}$

כעת נציב $z=z_{0}+re^{\theta i}$, כאשר $r>0$:

${\begin{aligned}r^{2m}{\bigl |}q(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}^{2}+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}\,r^{m}e^{m\theta i}q(z_{0}+re^{\theta i})\,\right]\geq 0\\[5pt]r^{m}{\bigl |}q(z_{0}+re^{\theta i}){\bigr |}^{2}+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}q(z_{0}+re^{\theta i})e^{m\theta i}\,\right]\geq 0\end{aligned}}$

נחשב את הגבול כאשר $r\to 0^{+}$:

${\text{Re}}\!\left[\,{\overline {p(z_{0})}}q(z_{0})e^{m\theta i}\,\right]\geq 0$

נסמן $c={\overline {p(z_{0})}}q(z_{0})$ וכן נסמן $\omega ={\text{cis}}\!\left({\frac {\pi }{2m}}\right)$.

נציב $e^{\theta i}=1,\omega ,\omega ^{2},\omega ^{3}$ באי־שוויון, וממשפט דה-מואבר נקבל כי

${\begin{aligned}&{\text{Re}}(\pm c)=\pm \,{\text{Re}}(c)\geq 0\\&{\text{Re}}(\pm ci)=\mp \,{\text{Im}}(c)\geq 0\end{aligned}}$

לכן ${\text{Re}}(c)={\text{Im}}(c)=0$ ומכאן ${\overline {p(z_{0})}}q(z_{0})=0$.

מההנחה $q(z_{0})\neq 0$ נקבל כי ${\overline {p(z_{0})}}=p(z_{0})=0$.

$\blacksquare$

הפרק הקודם: בניה פורמלית של המספרים המרוכבים

המשפט היסודי של האלגברה תרגילים

הפרק הבא: סוף הספר