מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/משפט דה-מואבר

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה אל: ניווט, חיפוש

משפט דה-מואבר[עריכה]

משפט דה-מואבר הוא משפט כללי המציג נוסחה כללית לכלל המספרים המרוכבים המעולים בחזקה. לפיו

הוכחה[עריכה]

נוכיח באינדוקציה מתמטית. עבור ניתן להוכיח בקלות מהגדרות ההצגה הקוטבית וכפל המרוכבים.

נניח נכונות עבור , ונבדוק נכונות עבור  :

בשורה הרביעית השתמשנו בהנחת האינדוקציה מן השורה הראשונה, ובחמישית בכפל המרוכבים הנ"ל.

נראה כעת את נכונות המשפט עבור . נשים לב כי אם אז כאשר .

לכן ניתן לכתוב:

את הנוסחה עבור כבר מצאנו בחלק הקודם. לכן נשתמש בה ובמשפט דה-מואבר עבור מספרים גדולים מאפס, ונקבל:


הפרק הקודם:
המישור המרוכב וההצגה הקוטבית
משפט דה-מואבר
תרגילים
הפרק הבא:
בניה פורמלית של המספרים המרוכבים