מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/משפט דה-מואבר

משפט דה-מואבר

משפט דה-מואבר הוא משפט כללי המציג נוסחה כללית לכלל המספרים המרוכבים המועלים בחזקה. לפיו $(r(cos\theta +isin\theta ))^{n}=r^{n}(cosn\theta +isin\ n\theta$

הוכחה

נוכיח באינדוקציה מתמטית. עבור $n=1,2$ ניתן להוכיח בקלות מהגדרות ההצגה הקוטבית וכפל המרוכבים.

נניח נכונות עבור $n=k$ , ונבדוק נכונות עבור $n=k+1$ :

$${\begin{aligned}z^{k}={\Big [}r{\bigl (}\cos(\theta )+\sin(\theta )i{\bigr )}{\Big ]}^{k}&=r^{k}{\Big [}\cos(k\theta )+\sin(k\theta )i{\Big ]}\\z^{k+1}={\Big [}r{\big (}\cos(\theta )+\sin(\theta )i{\big )}{\Big ]}^{k+1}&=r^{k+1}{\big (}\cos(\theta )+\sin(\theta )i{\big )}^{k+1}\\&=r^{k+1}{\big (}\cos(\theta )+\sin(\theta )i{\big )}^{k}{\big (}\cos(\theta )+\sin(\theta )i{\big )}\\&=r^{k+1}{\big (}\cos(k\theta )+\sin(k\theta )i{\big )}{\big (}\cos(\theta )+\sin(\theta )i{\big )}\\&=r^{k+1}{\big (}\cos(k\theta +\theta )+\sin(k\theta +\theta )i{\big )}\\&=r^{k+1}{\Big [}\cos {\big (}(k+1)\theta {\big )}+\sin {\big (}(k+1)\theta {\big )}i{\Big ]}\end{aligned}}$$

בשורה הרביעית השתמשנו בהנחת האינדוקציה מן השורה הראשונה, ובחמישית בכפל המרוכבים הנ"ל. $\blacksquare$

נראה כעת את נכונות המשפט עבור $n<0$ . נשים לב כי אם $n<0$ אז $n=-k$ כאשר $k>0$ .

לכן ניתן לכתוב: $z^{n}=z^{-k}=(z^{-1})^{k}=\left({\frac {1}{z}}\right)^{k}$

את הנוסחה עבור ${\frac {1}{z}}$ כבר מצאנו בחלק הקודם. לכן נשתמש בה ובמשפט דה-מואבר עבור מספרים גדולים מאפס, ונקבל:

$\left({\frac {1}{z}}\right)^{k}=\left({\frac {1}{r}}(\cos(-\theta )+i\sin(-\theta ))\right)^{k}={\frac {1}{r^{k}}}(\cos(-k\theta )+i\sin(-k\theta ))=r^{n}(\cos(n\theta )+i\sin(n\theta ))$

הפרק הקודם: המישור המרוכב וההצגה הקוטבית

משפט דה-מואבר תרגילים

הפרק הבא: בניה פורמלית של המספרים המרוכבים