מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/המשפט היסודי של האלגברה

לכל פולינום לא קבוע בעל מקדמים מרוכבים קיים שורש מרוכב.

בנוסף, מספר שורשי הפולינום (עד כדי ריבוי) שוה למעלת הפולינום.

הוכחה

יהי

$A(z)=a_{0}+a_{1}z+\cdots +a_{n}z^{n}\in \mathbb {C} [z]$

פולינום לא קבוע. אזי מתקיים $\lim _{z\to \infty }|A(z)|=\infty$.

הפונקציה $|A(z)|$ רציפה, לכן קיים $z_{0}\in \mathbb {C}$ עבורו $|A(z_{0})|=\min _{z\,\in \,\mathbb {C} }|A(z)|$.
ניתן לרשום

$A(z)=A(z_{0})+(z-z_{0})^{m}B(z)$

כאשר $1\leq m\in \mathbb {N}$ וכן $B(z)$ פולינום עבורו $B(z_{0})\neq 0$.

לפי בחירת $z_{0}$, לכל $z\in \mathbb {C}$ מתקיים:

$|A(z_{0})|^{2}\!\leq |A(z)|^{2}\!=|A(z_{0})|^{2}\!+|z-z_{0}|^{2m}|B(z)|^{2}\!+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {A(z_{0})}}\,(z-z_{0})^{m}B(z)\,\right]$

לאמר

$|z-z_{0}|^{2m}|B(z)|^{2}\!+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {A(z_{0})}}\,(z-z_{0})^{m}B(z)\,\right]\geq 0$

נציב $z=z_{0}+r\,{\text{e}}^{\theta i}$, כאשר $r>0$ וכן $\theta \in [0,2\pi )$:

$r^{2m}{\Big |}B(z_{0}+r\,{\text{e}}^{\theta i}){\Big |}^{2}\!+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {A(z_{0})}}\,r^{m}{\text{e}}^{m\theta i}B(z_{0}+r\,{\text{e}}^{\theta i})\,\right]\geq 0$

נחלק ב־$r^{m}$ ונקבל:

$r^{m}{\Big |}B(z_{0}+r\,{\text{e}}^{\theta i}){\Big |}^{2}\!+2\,{\text{Re}}\!\left[\,{\overline {A(z_{0})}}\,B(z_{0}+r\,{\text{e}}^{\theta i})\,{\text{e}}^{m\theta i}\,\right]\geq 0$

נחשב את הגבול כאשר $r\to 0^{+}$:

${\text{Re}}\!\left[\,{\overline {A(z_{0})}}\,B(z_{0})\,{\text{e}}^{m\theta i}\,\right]\geq 0$

נסמן $w={\overline {A(z_{0})}}\,B(z_{0})$.

המספר $w\,{\text{e}}^{m\theta i}$ מקיף את הראשית במעגל שרדיוסו $|w|$. לכן ${\text{Re}}(w\,{\text{e}}^{m\theta i})$ מחליף סימן בקטע $[0,2\pi )$.
אך ${\text{Re}}(w\,{\text{e}}^{m\theta i})\geq 0$ לכל $\theta \in [0,2\pi )$.

לכן בהכרח $w=0$, לאמר ${\overline {A(z_{0})}}\,B(z_{0})=0$.

מההנחה $B(z_{0})\neq 0$ נקבל כי ${\overline {A(z_{0})}}=0$, לאמר $A(z_{0})=0$.

$\blacksquare$

הפרק הקודם: בניה פורמלית של המספרים המרוכבים

המשפט היסודי של האלגברה תרגילים

הפרק הבא: סוף הספר