חשבון אינפיניטסימלי/מושגים בסיסיים בתורת הקבוצות/נספח

הוכחת הטענה: $\ \mathbb {Q}$ הינה קבוצה בת מניה

כפי שאמרנו בפרק זה, על מנת להוכיח את הטענה עלינו למצוא לקבוצה $\mathbb {Q}$ סידור לפי סדר מסויים.
הוכחה: נראה עבור רציונלים חיוביים, ואז נוכל, לפי אותו הסדר, לסדר גם את השליליים (בדיוק כמו שעשינו עם $\mathbb {Z}$).
נסדר את המספרים הרציונלים בתוך טבלה גדולה בסדר הבא:

נסמן כעת מסלול בעזרת חיצים, באופן הבא:

נלך כעת במסלול המסומן באמצעות החצים, ואז נוכל למנות אותם (כלומר: להגיד מי ראשון, מי שני וכולי). ▪

הוכחת הטענה: $\ \mathbb {R}$ אינה קבוצה בת מניה

הוכחה: מספיק שנוכיח עבור קטע קטן מ- $\ \mathbb {R}$ (שהרי אם קטע מקבוצה מסויימת אינו בר מניה, ודאי שהקבוצה כולה אינה כזו!). לכן, נוכיח רק עבור הקטע $\ \left(0,1\right)$:
נניח בשלילה ש- $\mathbb {R}$ הינו בר-מניה. כלומר, נוכל לסדר את האיברים בשורה: $\ a^{1},a^{2},a^{3}\cdots$ (כאשר המספרים $\ 1,2,3$ אינם מציינים חזקה, אלא את מיקום המספר בשורה). ונוכיח שקיים מספר אחד לפחות בקטע $\ \left(0,1\right)$ שאינו ברשימה. נרשום כל אחד מהמספרים שברשימה $\ a^{i}$ בצורה עשרונית: (המספרים שברשימה מסמלים את הספרות $\ 0-9$):

$\ a^{1}=0.b_{1}^{1}b_{2}^{1}b_{3}^{1}b_{4}^{1}b_{5}^{1}b_{6}^{1}b_{7}^{1}\cdots$

$\ a^{2}=0.b_{1}^{2}b_{2}^{2}b_{3}^{2}b_{4}^{2}b_{5}^{2}b_{6}^{2}b_{7}^{2}\cdots$

$\ a^{3}=0.b_{1}^{3}b_{2}^{3}b_{3}^{3}b_{4}^{3}b_{5}^{3}b_{6}^{3}b_{7}^{3}\cdots$

נבנה כעת את המספר $\ c$ באופן הבא: $\ c=c_{1}c_{2}c_{3}c_{4}c_{5}c_{6}c_{7}\cdots$, כאשר נגדיר: $\ c_{i}=\left\{{\begin{matrix}5&b_{i}^{i}\neq 5\\3&b_{i}^{i}=5\end{matrix}}\right.$ . כלומר, המספר החדש $\ c$ יהיה תמיד שונה בספרה אחת לפחות מכל מספר שברשימה (הוא יהיה שונה מהאיבר ה- $\ i$ במקום ה- $\ i$) $\ c\ \Leftarrow$ אינו מופיע ברשימה $\ \Leftarrow$ הקטע $\ (0,1)$ אינו בר מניה.
וכאמור למעלה: $\ \left(0,1\right)\in \mathbb {R}$ ואינו בר מניה $\ \mathbb {R} \ \Leftarrow$ כולו אינו בר-מניה.
▪ הערות:

• שיטה זו (בה הוכחנו ש- $\ \mathbb {R}$ אינו בן-מניה) נקראת שיטת האלכסון של קנטור, ע"ש קנטור ממציא השיטה ומשום שבשיטה זו אנו יוצרים איבר חדש, השונה מכל האיברים הקיימים, הנוצר באלכסון.
• אנחנו מתבססים ללא הוכחה על העובדה שכל מספר ממשי ניתן להצגה לכל היותר בשתי צורות כפיתוח עשרוני, והמספרים היחידים שניתנים להצגה כפולה שכזו הם מספרים שנגמרים ב-$\ 999\dots$ בהצגה אחת וב-$\ 000\cdots$ בשנייה. בבירור המספר שבנינו אינו כזה, ולכן אין חשש שבנינו את אחד מהמספרים שכן הופיעו ברשימה בצורה שלו שלא הופיעה ברשימה.
• עוד על קבוצות בנות-מניה ושאינן בנות מניה, על שיטת האלכסון של קנטור ועוד - בקורס תורת הקבוצות.

בחזרה לקורס לחצו כאן.