בפרק זה יוצגו הוכחות למשפטים שהוצגו בפרק הגבולות ללא הוכחה, כדוגמת חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ'.
חוקי הגבולות[עריכה]
את כל חוקי הגבולות שהוצגו קודם לכן ניתן להוכיח באמצעות ההגדרה המדויקת של הגבול. נוכיח כמה מהם בדרך זו.
חוקים בסיסיים[עריכה]
הגבול של קבוע[עריכה]
אמרנו כי אם הוא מספר קבוע, אז גבול הקבוע שווה לקבוע, כלומר:
משפט: הגבול של פונקציה קבועה
|
זהו חוק פשוט אך חשוב וקל להוכיחו.
- הוכחה
יהי . נראה שקיים מתאים כך שלכל מתקיים .
אבל כאן הפונקציה היא הקבוע , לכן שכן . לכן החוק מתקיים תמיד, לא משנה איזו נבחר.
הגבול של פונקציית הזהות[עריכה]
קבענו כי הגבול של פונקציית הזהות שווה ל- , כאשר הוא המספר אליו שואף, כלומר:
משפט: הגבול של פונ' הזהות
|
- הוכחה
יהי . נראה שקיים מתאים כך שלכל מתקיים .
אבל כאן הפונקציה היא פונקציית הזהות , לכן . נבחר ואז .
אריתמטיקה של גבולות[עריכה]
נוכיח את המשפט הזה לחלקיו:
סכום והפרש גבולות[עריכה]
אם הגבולות קיימים אז גבול הסכום וההפרש שלהם הוא סכום והפרש הגבולות, כלומר .
- הוכחה
יהי . נראה שקיים מתאים כך שלכל מתקיים . נסדר מעט אי-שוויון זה ונקבל:
במעבר השני נעשה שימוש באי-שוויון המשולש אז .
אם כל אחד משני הביטויים שקיבלנו בסוף יהיה קטן מ- , אז נקבל כדרוש.
מכיון שנתונים לנו הגבולות של ו- , אין זו בעיה להגבילם.
- , כלומר קיים כך שלכל מתקיים .
- , כלומר קיים כך שלכל מתקיים .
נבחר , לפיכך אם אז מתקיים וגם כך שמתקיים וגם .
לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול.
מכפלת גבול בקבוע[עריכה]
אם הגבול קיים, אזי גבול המכפלה בקבוע שווה למכפלת הקבוע בגבול הפונקציה, כלומר .
- הוכחה
יהי .
אם הטענה מיידית:
אם נראה שקיים כך שלכל מתקיים .
, לכן קיים כך שלכל מתקיים .
לפיכך, החוק מוכח לפי הגדרת הגבול.
מכפלת גבולות[עריכה]
החוק למכפלת גבולות הוא הכללה של החוק למכפלת גבול בקבוע (אם אחת מהפונקציות המוכפלות היא קבוע).
אם הגבולות קיימים אז גבול מכפלת הפונקציות שווה למכפלת גבולות הפונקציות, כלומר .
- הוכחה
יהי . נראה שקיים כך שלכל מתקיים .
, לכן היא חסומה וקיים כך שמתקיימים בו זמנית המקרים: לכל וגם , עבור כלשהו.
קיים כך שמתקיים לכל .
קיים כך שמתקיים לכל .
נבחר . לפיכך,
מנת גבולות[עריכה]
אם הגבולות קיימים אז גבול מנת הפונקציות שווה למנת גבולות הפונקציות, כלומר .
- הוכחה
יש להראות כי לכל קיים כך שלכל מתקיים . על-ידי מכנה משותף נקבל:
קיים כלשהו כך שמתקיימים המקרים וגם .
- קיים כך שלכל מתקיים . מכאן:
- קיים כך שלכל מתקיים .
- קיים כך שלכל מתקיים .
נבחר . לפיכך,
משפטים מתקדמים[עריכה]
מונוטוניות של גבולות[עריכה]
- הוכחה
נניח בשלילה כי .
החוק להפרש גבולות אומר כי , לכן לכל קיים כך שמתקיים כאשר .
ניקח למטרותינו בהוכחה זו וקיים עבורו כך שמתקיים כאשר .
לכל מתקיים , לכן כאשר מתקיים .
מהעברת אגפים נקבל (כאשר ).
הדבר עומד בסתירה לנתון ולכן הנחתנו כי שגויה.
לכן .
כלל הסנדוויץ'[עריכה]
ניזכר בכלל הסנדוויץ'. הכלל אומר:
למרות שמדובר בכלל רב-עצמה, ההוכחה שלו היא פשוטה ואלגנטית.
- הוכחה
יהי .
, לכן קיים כך שמתקיים כאשר . כלומר כאשר .
, לכן קיים כך שמתקיים כאשר . כלומר כאשר .
נבחר . לפיכך:
מכאן,
לפיכך כאשר . לכן .
שימושים לכלל הסנדוויץ'[עריכה]
המשפט הבא הנו משפט חשוב מאוד, אשר הוכחתו קלה בעזרת כלל הסנדוויץ':
- הוכחה
חסומה בקטע, נניח ע"י חסם כך ש- . לכן .
מקיום הגבול נסיקים בעזרת אריתמטיקה של הגבולות כי
ונקבל ע"פ כלל הסנדוויץ' .
שימו לב שעל אנו יודעים רק שהיא חסומה, אך אינה בהכרח בעלת גבול בנקודה, ולמעשה היא גם לא חייבת להיות בעלת גבולות חד-צדדיים.
- דוגמא
הוכח כי קיים הגבול ומצא את ערכו.
נסמן .
ע"פ משפט "גבול של פונקציית הזהות" () נקבל , בעוד שידוע שפונקציית הסינוס חסומה ע"י 1, ולכן נקבל כי הגבול קיים וערכו הוא 0.
אריתמטיקה של גבולות אינסופיים[עריכה]
משפטי גבולות באינסוף[עריכה]
הנושא הבא בחשבון אינפינטיסימלי: חשבון אינפיניטסימלי/רציפות