חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

הגדרת הגבול המדויקת[עריכה]

ניזכר בהגדרה הלא מדויקת שלנו למושג הגבול:


הגדרה:

נכתוב

ונאמר "הגבול של , כאשר שואף ל־ , שווה ל־"

אם אנחנו יכולים להביא את קרובה ל־ ככל שנרצה אם ניקח קרוב מספיק ל־ (בכל צד של ) אבל לא שווה ל־ .

מה זאת אומרת "להביא את קרובה ל־ ככל שנרצה" או " קרוב מספיק ל־" ? מונחים כמו "קרוב מספיק" הם מעורפלים ולא מוגדרים היטב מתמטית. עם זאת, ההגדרה הלא־מדויקת היא אינטואיטיבית ומה שנעשה כעת הוא לפרמל את האינטואיציה. ניתן הגדרה פורמלית ומדויקת למושג הגבול.


הגדרה: גבול

תהי פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר , מלבד אולי ב־ עצמו. נאמר כי הגבול של כאשר שואף ל־ הוא , ונכתוב אם לכל מספר קיים מספר כך שאם , אז מתקיים .

תמונה הממחישה את ההסבר להגדרת הגבול

הבא ננסה להבין כיצד הגדרה זו, שנראת מסובכת בתחילה, מתאימה להגדרה הלא־מדויקת אשר ניתנה קודם לכן.

כאשר אמרנו "להביא את קרובה ל־ ככל שנרצה", למה הכוונה ב"ככל שנרצה"? אנחנו יכולים להביא את למרחק 0.1 מ־ , מרחק 0.00001 ולמעשה, מרחק קטן ככל שנרצה. את המרחק הזה מסמל בהגדרה הנ"ל אפסילון , אות יוונית המשמשת לרוב לציון ערכים קטנים מאוד, למרות שאין זה מן הנמנע כי אפסילון יהיה מספר גדול מאוד. הוא המרחק של מ־ ואנו אומרים שהגבול קיים אם אנחנו יכולים לעשות את המרחק הזה קטן ככל שנרצה (קטן מכל אפסילון שהוא). אם נפתח את הערך המוחלט ונעביר את הצידה, נקבל:

כלומר, הערכים אשר מקבלת נמצאים בין לבין , וזהו הדבר שבדיוק חיפשנו – קרובה ל־ עד כדי המרחק .

מתי מתרחשת קרבה זו, על־פי ההגדרה? כאשר ולאחר פתיחת הערך המוחלט והעברת הצידה

כלומר עבור ערכי שהם קרובים ל־ מאוד, למעשה קרובים עד כדי המרחק הקטן .

נשים לב שערכי אינם יכולים להיות , שכן אילו היה היה מתקבל כי , בסתירה לכך ש־ .

עוד על בחירת ε,δ[עריכה]

מנין מגיעים המספרים ואיך בוחרים אותם? האם כל מספר יתאים להם?

למי שעדיין אינו בקיא בהוכחות מתמטיות מדויקות, יתכן שהשימוש בשני מספרים כללים נראה מפחיד בתחילה. נחזור כעת למשפט השני מתוך ההגדרה: "...לכל מספר קיים מספר ..."

המספר אינו נבחר על ידינו, אם כן. המייצג את המרחק של מהערך יכול להיות כל מספר. כאשר נוכיח את קיומו של גבול כלשהו נצטרך למצוא עבור מספר כללי, מספר אחר , מתאים לו (כפי שכתוב בהגדרה) אשר מקיים את שאר תנאי המשפט. אם כן, הוא מספר אשר כן נבחר על ידנו, אבל לא כל יתאים, ונצטרך לבחור אותו בחכמה, ועל כך בדוגמא.

דוגמא: נביט בפונקציה ונתעניין בגבול .

ראשית, מהם הערכים שהפונקציה מקבלת? לכל נקבל כי . ניתן להיות תחת הרושם השגוי כי למעשה לכל , אבל שימו לב מה קורה עבור  : , וכפי שלמדנו בביה"ס היסודי, אין לחלק ב־0 לעולם. לכן ב־0 הפונקציה אינה מוגדרת. עם זאת, אנו "מרגישים" שכאשר נתקרב ל־0 "מאוד" עדיין נשמר הכלל ולכן "מתבקש" כי . כעת נוכיח זאת בצורה מדויקת, בעזרת ההגדרה המדויקת שלמדנו.

יהי כלשהו. למה הכוונה במשפט זה? נזכר כי עלינו להוכיח משהו (במקרה זה קיום מתאים) עבור כל . יש כמובן אינסוף ערכי שעבורם עלינו למצוא. אנו בוחרים אפוא שרירותי, ומוצאים עבורו מתאים. אם עבור שרירותי שנבחר נמצא המבוקש - הרי שניתן להגיד שלכל ניתן למצוא את המבוקש וסיימנו את ההוכחה.

ובכן, נבחר עבור שלנו, . מתעוררות שתי שאלות:

  1. האם זהו מתאים?
  2. האם זהו ה־ היחידי שניתן לבחור?

התשובה לשאלה הראשונה היא "כן". הבה נראה:

עבור כל המקיים בפרט מתקיים , כלומר ולכן כפי שהוסבר קודם, ולכן

ולכן הוכחנו את דרישת ההגדרה.

לשאלתנו השניה – התשובה היא "לא". שימו לב שבהוכחה לא השתמשנו כלל בעובדה כי , כלומר לא נזקקנו לגודל מסוים של , ולמעשה יכולנו לבחור כל ערך עבורו, בפרט לקבוע ערכים קבועים כמו . זה לא יהיה המצב תמיד, ולעתים נהיה חייבים לקבוע מגבלות מסוימות על ערכי המתאימים. עם זאת, שימו לב שאם מתאים ל־ מסוים הרי שגם יתאים ולכן תמיד הבחירה של אינה יחידה.

אתגר:

נסו להבין למה אם מתאים ל־ אז גם מתאים לו.

הגדרה מדויקת לגבולות חד־צדדיים[עריכה]

הבה ניזכר בפונקציה

האם לפונקציה זו קיים גבול עבור  ? אנו טוענים שלא. נראה זאת:

נניח בשלילה שקיים גבול לפונקציה עבור , כלומר מתקיים . על־פי ההגדרה: לכל סביבה קיים מספר כך שלכל מתקיים .

ניקח לדוגמא אם כן , אשר עבורו קיים מתאים. נסמן וכן , ומתקיים: ולכן , כלומר לאחר פתיחת הערך המוחלט והעברת אגף .

אם נעשה את הדבר עם נקבל כי כלומר נקבל . קיבלנו סתירה ולכן לא קיים גבול.

עם זאת, אנו מרגישים כי אם "נתקרב" ל־0 רק מכיוון אחד כל פעם, נקבל גבול – אם נתקרב מהכיוון החיובי נקבל גבול , בעוד שאם נתקרב מהכיוון השלילי נקבל גבול . נגדיר את אם כן להיות "הגבול של מימין ב־0" , ואת להיות "הגבול של משמאל ב־0" . ובמדויק:

הגדרה: גבול חד־צדדי

תהי פונקציה המוגדרת על קטע פתוח . נאמר כי הגבול של כאשר שואף ל־ מימין הוא , ונכתוב אם לכל סביבה קיים מספר כך שלכל מתקיים .

תהי פונקציה המוגדרת על קטע פתוח . נאמר כי הגבול של כאשר שואף ל־ משמאל הוא , ונכתוב אם לכל סביבה קיים מספר כך שלכל מתקיים .

כל אחד מהגבולות הנ"ל מכונה "גבול חד־צדדי של ב־".

הקשר בין הגבול לגבולות החד־צדדיים[עריכה]

אפשר לשים לב כי הגדרה זו דומה מאוד להגדרת הגבול, אלא שכאן אנו "מתקרבים" לנקודה בכל פעם רק מכיוון אחד. מה הקשר בין הגבולות החד־צדדיים לגבול הרגיל של פונקציה? אם לפונקציה קיים גבול משני צדיה בנקודה , הרי שבפרט ניתן "להתקרב" לכל צד בנפרד ולהגיע לאותו גבול. יתרה מכך. אם לפונקציה שני גבולות חד-צדדים בנקודה וגבולות אלו שווים – הרי שהגיוני שהגבול של הפונקציה קיים, ועל כך במשפט הבא:


משפט:

לפונקציה גבול בנקודה , אם ורק אם לפונקציה קיימים שני הגבולות החד־צדדיים בנקודה ושניהם שווים ל־ .


הוכחת צד אחד:
נניח ל- קיימים גבולות חד-צדדיים בנקודה , ומתקיים ויהי כלשהו. ע"פ הגדרה קיימים כך ש:

  • לכל המקיים , אז .
  • לכל המקיים , אז .

נסמן . כעת לכל המקיים מתקיים בדיוק אחד משני הבאים:

  • אם , אז , ולכן .
  • אם , אז , ולכן .

ולכן הגבול של הוא , ע"פ ההגדרה.

ה"טריק בו השתמשנו, היה בחירת שתי "-ות" ולקיחת הקטנה מבינהן ע"י פונקציית המינימום. זהו "טריק" שחוזר על עצמו רבות בהוכחות בגבולות, וכדאי לזכור אותו כדי לדעת להשתמש בו בעתיד.


אתגר:

הוכח את הצד השני במשפט זה.

הגדרה מדויקת לגבולות אינסופיים[עריכה]

נביט בפונקציה . ברור לנו כי בנקודה עצמה הפונקציה אינה מוגדרת. ומה קורה בסביבה קרובה של  ? ככל שאנו מתקרבים לנקודה x=0 הפונקציה מקבלת ערכים הולכים וגדלים. למעשה אין חסם עליון על הערכים שהפונקציה יכולה לקבל, וניתן לקבל ערך גדול כרצוננו לפונקציה. למצב זה נקרא "גבול אינסופי" ונגיד כי " שואפת לאינסוף ב- " .
בצורה אנלוגית עבור נגיד כי " שואפת למינוס אינסוף ב- " .


הגדרה: גבול אינסופי

א. תהי פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר , מלבד אולי ב- עצמו. נאמר כי הגבול של כאשר שואף ל- הוא , ונכתוב אם לכל מספר קיים מספר כך שאם , אז מתקיים .

ב. תהי פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו המכיל את המספר , מלבד אולי ב- עצמו. נאמר כי הגבול של כאשר שואף ל- הוא , ונכתוב אם לכל מספר קיים מספר כך שאם , אז מתקיים .

ההגדרות אלו מגדירות בצורה מדויקת את מה שנאמר במילים פשוטות. ההגדרות קובעות כי לפונקציה אין חסם עליון בסביבת , ויתרה מכך, לכל מספר גדול ככל שנרצה , נוכל למצוא סביבה קטנה מספיק סביב כך שערכי הפונקציה בסביבה זו גדלם כולם מ- .
הבא נראה כיצד הגדרות אלו באות לידי ביטוי בדוגמא למעלה, עבור הפונקציה  :
יהי כלשהו. נסמן .
יהי כעת המקיים . אז . מש"ל.

אתגר:

הוכח עבור המוגדרת מעלה כי .

גבולות חד-צדדיים באינסוף[עריכה]

נביט בפונקציה . האם לפונקציה קיים גבול עבור  ? כאשר "מתקרבים ל- מימין" (כלומר עבור ערכים חיוביים), מקבלת ערכים הולכים וגדלים. כך:

1 1
0.1 10
0.001 1,000
0.0001 10,000
0.000001 1,000,000

לעומת זאת כאשר "מתקרבים ל- משמאל" (כלומר עבור ערכים שליליים, מקבלת ערכים הולכים וקטנים. כך:

1- 1-
0.1- 10-
0.001- 1,000-
0.0001- 10,000-
0.000001- 1,000,000-

שוב אנו מבינים כי יש הבדל בני שני הצדדים של הנקודה , ו"מרגישים" כי קיימים גבולות שונים בכל צד. ניתן הגדרה מדויקת:

הגדרה: גבול חד-צדדי אינסופי

תהי פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה . נאמר כי הגבול של כאשר שואף ל- מימין הוא , ונכתוב אם לכל מספר קיים מספר כך שאם , אז מתקיים .

תהי פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה . נאמר כי הגבול של כאשר שואף ל- משמאל הוא , ונכתוב אם לכל מספר קיים מספר כך שאם , אז מתקיים .

ועכשיו נוכיח כי  :
יהי כלשהו. נבחר . יהי כלשהו המקיים ואז קל לראות כי . מש"ל.


אתגר:

הגדר את הגבולות החד-צדדיים: ו- , והוכח כי .

הגדרה מדויקת לגבולות באינסוף[עריכה]

נביט שוב בפונקציה . הפעם נביט בערכים הולכים וגדלים של  :

1 1
100 0.01
1,000 0.001
100,000 0.00001
1,000,000 0.0000001

מה קורה לפונקציה? הפונקציה מקבלת ערכים הקרבים ל- יותר ויותר. נגדיר את הגבול באינסוף כמספר שאליו הפונקציה הייתה "רוצה" להגיע.


הגדרה: גבולות באינסוף

א. תהי פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה . נאמר כי הגבול של כאשר שואף ל- הוא , ונכתוב אם לכל מספר קיים מספר כך שאם , אז מתקיים .
ב. תהי פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה . נאמר כי הגבול של כאשר שואף ל- הוא , ונכתוב אם לכל מספר קיים מספר כך שאם , אז מתקיים .

ננסה להבין את ההגדרה הזאת בעזרת ההגדרה לגבול ה"רגיל". מה ההבדל בין ההגדרות?
בהגדרת הגבול הקודמת, חיפשנו ערכי בסביבות הולכות וקטנות של (מוגבלות ע"י -ת) אשר צמצמו את ערכי הפונקציה (ערכים אלו מוגבלים ע"י ) .
בהגדרה זאת במקום סביבה ל- אנחנו מגדילים את ערכי עוד ועוד (ע"י הגדלת ) , וזה בתורו מצמצם את ערכי הפונקציה (ושוב ערכים אלו מוגבלים ע"י ).

הבא נדגים על  :
יהי כלשהו. נגדיר עבורו . ויהי כלשהו, המקיים . ואז

הגדרה מדויקת לגבולות אינסופיים באינסוף[עריכה]

כשם שהגדרנו גבול אינסופי, שם אמרנו שבסביבה מסוימת אין לפונקציה חסם, נגדיר לפונקציה "גבול אינסופי באינסוף" אם ערכיה הולכים וגדלים ללא הגבלה כאשר גדל.


הגדרה: גבול אינסופי באינסוף

תהי פונקציה המוגדרת על קטע פתוח כלשהו מהצורה . נאמר כי הגבול של כאשר שואף ל- הוא , ונכתוב אם לכל מספר קיים מספר כך שאם , אז מתקיים .

לדוגמא, נביט ב- . נוכיח שהיא שואפת לאינסוף באינסוף.
יהי כלשהו. נגדיר עבורו . ויהי כעת המקיים . אז מתקיים: . מש"ל.


אתגר:

הגדר את הגבולות:

הגדרת הגבול לפי סדרות[עריכה]

היינה פיתח הגדרה משלו למושג הגבול ששקולה להגדרה הקודמת, של קושי. היינה השתמש במושג גבול סדרה כדי להגדיר את גבול הפונקציה.

הגדרה: גבול לפי היינה

נגיד ש- אם לכל סדרה כך ש- ו- מתקיים:

כלומר, ע"י בחירת סדרה של נקודות שמתקרבת יותר ויותר ל- , הפונקציה תתקרב יותר ויותר ל-

קישורים חיצוניים[עריכה]


הנושא הקודם בפרק
חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ'
בחזרה לעמוד הפתיחה
חשבון אינפיניטסימלי/גבולות
הנושא הבא בפרק זה:
חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/הוכחות