שיחה:חשבון אינפיניטסימלי/ממשים ושדה שלם

למת החתכים

למת החתכים כפי שהינה מנוסחת שגויה מהותית. יש שקילות רק בין תכונות 2,3. אינני מכיר את הלמה או מוצא ניסוח אחר שלה. יש רעיון לכוונת המשורר? A Shrubbery (שיחה) 10:51, 21 בנובמבר 2019 (IST)

התכוונו ש c יחיד. תיקנתי. A Shrubbery (שיחה) 11:02, 21 בנובמבר 2019 (IST)

A Shrubbery על איזה סעיף בלמה מדובר? העורכים הם מתנדבים ולעיתים יש טעויות. --‏Illuyanka‏ 15:06, 2 בדצמבר 2019 (IST)

למת החתכים הערך: סעיף 1 גורר סעיף 2:

נוכיח כי מתקיים: יהי $\emptyset \neq L,U\subset \mathbb {R}$ כך $\forall l\in L\ u\in U\ l\leq u$ אזי קיים $sup(L)$ ו-$Inf(u)$ מתקיים $sup(L)\leq inf(u)$ יהי $u\in U$ מתקיים $\forall l\in L\ l\leq u$ ולכן $u$ הוא חסם מלעיל של $L\neq \emptyset$

מתכונת החסם העליון נובע שיש $sup(L)\leq u$ והוא נכון לכל איבר בקובצה ולכן $sup(L)$ הוא חסם מלמטה של הקבוצה $U$

מתכונת החסם התחתון נובע שיש $l\leq inf(u)$ והוא נכון לכל איבר בקבוצה ולכן מתקיים $sup(L)\leq inf(U)$

הוכחנו כי מתקיים ש- $sup(L)\leq inf(U)$. נניח בשלילה קיים $c$ אבל $l\leq sup(L)<inf(U)\leq u$

על פי סעיף א' קיים $c\in \mathbb {R}$ בין $\forall l\in L\forall u\in Ul\leq c\leq u$ ולכן מתקיים $c=inf(U)$ או $sup(L)=c$ ומכאן ש-$inf(U)\leq sup(L)\land sup(L)\leq inf(U)$ כלומר $Inf(U)=sup(L)$

סעיף 2 גורר סעיף 3:

יהי $\epsilon >0$.

נתון כי קיים $l=sup(L)$. יהי $sup(L)-{\frac {\epsilon }{2}}<l$

נתון כי קיים $u=inf(u)$. יהי $u<inf(u)+{\frac {\epsilon }{2}}$

נחבר את אי השוויוניים ונקבל, $u+sup(L)-{\frac {\epsilon }{2}}<inf(u)+{\frac {\epsilon }{2}}+L$

נעביר אגפים, $u-l<inf(u)-sup(L)+{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}$

נתון $sup(L)=inf(U)$ ולכן נקבל$u-l<\epsilon$

סעיף 3 גורר סעיף 1:

נניח בשלילה כי קיימים $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$ כך ש-$c_{1}<c_{2}$ ו-$\forall l\in L\ \forall u\in U\ l\leq c_{1}\leq c_{2}\leq u$

נכפיל במינוס אחד את אי השיוויון $l\leq c_{1}$ ונקבל $\forall l\in L\ -c_{1}\leq -l$

נחבר את אי השיוויון עם $c_{2}\leq u$ ונקבל $c_{1}<c_{2}$ ו-$\forall l\in L\ \forall u\in U\ c_{2}-c_{1}\leq u-l$

יהי $2\epsilon =c_{2}-c_{1}\leftrightarrow \epsilon ={\frac {c_{2}-c_{1}}{2}}>0$ אזי על פי סעיף 3 מתקיים $\underbrace {c_{2}-c_{1}} _{2\epsilon }\leq u-l<\epsilon$ בסתירה לטריכוטומיה.

תבנית:Reply to בתנאי הראשון בשקילות היה צריך להוסיף יחידות עבור c. לא עברתי על כל ההוכחה עצמה בצורה מסודרת כדי לראות שאין טעויות, אולי כדאי. A Shrubbery (שיחה) 15:14, 2 בדצמבר 2019 (IST)