שיחה:חשבון אינפיניטסימלי/ממשים ושדה שלם

למת החתכים

תגובה אחרונה: לפני 6 שנים4 תגובות2 אנשים בשיחה

למת החתכים כפי שהינה מנוסחת שגויה מהותית. יש שקילות רק בין תכונות 2,3. אינני מכיר את הלמה או מוצא ניסוח אחר שלה. יש רעיון לכוונת המשורר? A Shrubbery (שיחה) 10:51, 21 בנובמבר 2019 (IST)תגובה

התכוונו ש c יחיד. תיקנתי. A Shrubbery (שיחה) 11:02, 21 בנובמבר 2019 (IST)תגובה

A Shrubbery על איזה סעיף בלמה מדובר? העורכים הם מתנדבים ולעיתים יש טעויות. --‏Illuyanka‏ 15:06, 2 בדצמבר 2019 (IST)תגובה

למת החתכים הערך: סעיף 1 גורר סעיף 2:

נוכיח כי מתקיים: יהי $\emptyset \neq L, U \subset ℝ$ כך $\forall l \in L u \in U l \leq u$ אזי קיים $s u p (L)$ ו- $I n f (u)$ מתקיים $s u p (L) \leq i n f (u)$ יהי $u \in U$ מתקיים $\forall l \in L l \leq u$ ולכן $u$ הוא חסם מלעיל של $L \neq \emptyset$

מתכונת החסם העליון נובע שיש $s u p (L) \leq u$ והוא נכון לכל איבר בקובצה ולכן $s u p (L)$ הוא חסם מלמטה של הקבוצה $U$

מתכונת החסם התחתון נובע שיש $l \leq i n f (u)$ והוא נכון לכל איבר בקבוצה ולכן מתקיים $s u p (L) \leq i n f (U)$

הוכחנו כי מתקיים ש- $s u p (L) \leq i n f (U)$ . נניח בשלילה קיים $c$ אבל $l \leq s u p (L) < i n f (U) \leq u$

על פי סעיף א' קיים $c \in ℝ$ בין $\forall l \in L \forall u \in U l \leq c \leq u$ ולכן מתקיים $c = i n f (U)$ או $s u p (L) = c$ ומכאן ש- $i n f (U) \leq s u p (L) \land s u p (L) \leq i n f (U)$ כלומר $I n f (U) = s u p (L)$

סעיף 2 גורר סעיף 3:

יהי $ϵ > 0$ .

נתון כי קיים $l = s u p (L)$ . יהי $s u p (L) - \frac{ϵ}{2} < l$

נתון כי קיים $u = i n f (u)$ . יהי $u < i n f (u) + \frac{ϵ}{2}$

נחבר את אי השוויוניים ונקבל, $u + s u p (L) - \frac{ϵ}{2} < i n f (u) + \frac{ϵ}{2} + L$

נעביר אגפים, $u - l < i n f (u) - s u p (L) + \frac{ϵ}{2} + \frac{ϵ}{2}$

נתון $s u p (L) = i n f (U)$ ולכן נקבל $u - l < ϵ$

סעיף 3 גורר סעיף 1:

נניח בשלילה כי קיימים $c_{1}, c_{2} \in ℝ$ כך ש- $c_{1} < c_{2}$ ו- $\forall l \in L \forall u \in U l \leq c_{1} \leq c_{2} \leq u$

נכפיל במינוס אחד את אי השיוויון $l \leq c_{1}$ ונקבל $\forall l \in L - c_{1} \leq - l$

נחבר את אי השיוויון עם $c_{2} \leq u$ ונקבל $c_{1} < c_{2}$ ו- $\forall l \in L \forall u \in U c_{2} - c_{1} \leq u - l$

יהי $2 ϵ = c_{2} - c_{1} \leftrightarrow ϵ = \frac{c_{2} - c_{1}}{2} > 0$ אזי על פי סעיף 3 מתקיים $\underset{2 ϵ}{\underset{⏟}{c_{2} - c_{1}}} \leq u - l < ϵ$ בסתירה לטריכוטומיה.

תבנית:Reply to בתנאי הראשון בשקילות היה צריך להוסיף יחידות עבור c. לא עברתי על כל ההוכחה עצמה בצורה מסודרת כדי לראות שאין טעויות, אולי כדאי. A Shrubbery (שיחה) 15:14, 2 בדצמבר 2019 (IST)תגובה