חשבון אינפיניטסימלי/ממשים ושדה שלם

הצורך באי רציונלים

טענה 1: לא קיים $x\in \mathbb {Q}$ המקיים ש-$x^{2}=2$ נניח כי קיים $x\in \mathbb {Q}$ המקיים ש-$x^{2}=2$. מאחר ש-$x^{2}=(-x)^{2}$ נתיחס אל $0<x$. יהי $x={\frac {m}{n}},\ m\in \mathbb {Z} ,\ n\in \mathbb {N}$ הצגה מצומצמת של $x$. אזי מתקיים : ${\begin{aligned}2&=x^{2}\\&=({\frac {m}{n}})^{2}\\&={\frac {m^{2}}{n^{2}}}\\\end{aligned}}$ נתבונן על שתי צדדי המשוואה כלומר ב-$2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}$ מתקיים ש-$m^{2}=2n^{2}$ כלומר $m^{2}$ הוא מספר זוגי ולכן נוכל לסמל $m=2k,\ k\in \mathbb {N}$ נציב חזרה במשוואה ונקבל ${\begin{aligned}2n^{2}&=(2k)^{2}\\&=4k^{2}\end{aligned}}$ נתבונן על שתי צדדי המשוואה כלומר ב-$2n^{2}=4k^{2}$ מתקיים ש-$n^{2}=2k^{2}$ כלומר $n^{2}$ הוא מספר זוגי ולכן נוכל לסמל $n=2r,\ r\in \mathbb {N}$ נציב חזרה באיקס ונקבל ${\frac {m}{n}}={\frac {2k}{2r}}={\frac {k}{r}}$ אבל $r<n$ בסתירה לכך שההצגה ${\frac {m}{n}}$ היא מצומצמת ולכן $x\notin \mathbb {Q}$

ממשים

הגדרה 1: האי רציונליים קבוצת הרציונליים של השדה $\mathbb {F} \backslash \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {F} |x\notin \mathbb {Q} \}$ במידה והשדה הוא כל המספרים הרציונלים מתקיים $\mathbb {F} \backslash \mathbb {Q} =\emptyset$

הגדרה 2: קיים שדה אחד כל שדה, למשל השדה $(\mathbb {F_{2}} ,+,*)$, הוא אחד ויחיד. במידה וקיים לו שדה איזומורפי, בהמשך הדוגמה, שדה עם שני האיברים $a,b$ ושדה איזומורפי עם שני האיברים $\triangle ,\square$, נתייחס כאילו השדות האיזומורפיים הם אותו שדה.

שקלו לדלג על נושא זה מומלץ לשקול לדלג על נושא זה בפעם הראשונה בה נתקלים בו, ולחזור אליו רק לאחר מעבר כללי על כל הספר.

משפט 1: אקסיומת השלמות: יהי $(\mathbb {F} ,+,*,<)$ נאמר שהשדה שלם אם לכל שתי תתי קבוצות $\emptyset \neq L,U\subseteq \mathbb {F}$ המקיימות $\forall l\in L\ \forall u\in U\ l\leq u$ קיים $c\in \mathbb {F}$ יחיד כך ש- $\forall l\in L\ \forall u\in U\ l\leq c\leq u$ תהי $\emptyset \neq S\subseteq \mathbb {F}$ תת-קבוצה לא ריקה חסומה מלעיל על ידי $u_{1}$. יהי $u<u_{1}\in \mathbb {Q}$ ולכן בעצמו חסם מלעיל. מכיוון ש-$S$ קבוצה לא ריקה קיים בשדה מספר רציונלי $l_{1}\in \mathbb {F}$ שקטן יותר מלפחות אחד מאיברי $l<s$. כעת נמשיך ונגדיר את שתי הסדרות באופן הבא: אם $a_{n}={\frac {u_{n}+l_{n}}{2}}$ חסם מלעיל אז $u_{n+1}=a_{n}$ ו-$l_{n+1}=l_{n}$, אם הוא אינו חסם מלעיל אז $l_{n+1}=a_{n}$ ו-$u_{n+1}=u_{n}$. קל להראות כי שתי הסדרות הנ"ל הן סדרות קושי, והסדרות שקולות. נסמן את מחלקת השקילות שלהן ב-$r$. קל להראות באינדוקציה כי לכל $n$ טבעי $u_{n}$ חסם מלעיל ל-$S$ בעוד ש-$l_{n}$ לא, מעובדה זו נובע כי $r$ חסם מלעיל (לפי הגדרת הסדר שהוצגה קודם), נראה כי גם נובע שהוא סופרמום, כלומר החסם מלעיל הקטן ביותר. נניח כי $t$ מקיים $t<r$, אז קיים $n_{0}$ טבעי עבורו $t<l_{n_{0}}$, ומכיוון ש-$\{l_{n}\}_{n=1}^{\infty }$ מונוטונית עולה נקבל כי לכל $n\geq n_{0}$ גם מתקיים $t<l_{n}$, אך ראינו כבר ש-$l_{n}$ אינו חסם מלעיל ולכן $t$ שקטן ממנו ממש גם הוא אינו חסם מלעיל.

משפט 2: ארכימדיוס - הטבעים אינם חסומים בממשים: תהי $A$ תת קבוצה אינדוקטיבית של $\mathbb {R}$ אזי $A$ אינה חסומה מלעיל תהי $A\neq \emptyset$ קבוצה אינדוקטיבית לא ריקה (מפני $1\in A$) של הממשיים. נניח בשלילה כי $A$ חסומה. על פי עקרון החסם העליון קיים $supA$ בממשיים. נלך אפסילון צעדים לאחור, $M-1<M$ ולכן אינו חסם של קבוצה. לחילופין $M-1\in A$ ולכן מתקיים ש- $\forall \epsilon >0\exists a\in A\ M-\epsilon <a\leq M$ נציב את האפסילון שלנו ונקבל $M-1<a$ נעביר אגפים ונקבל $M<a+1\in A$ (כי A קבוצה אינדוקטיבית) אך מכך נובע ש-M אינו חסם ולכן כל קבוצה האינדוקטיבית אינה חסומה בממשים, כולל הטבעים.

טענה 2: $\forall \epsilon >0\exists n\in \mathbb {N} \ 0<{\frac {1}{n}}<\epsilon$ נניח בשלילה כי מתקיים $\exists \epsilon >0\ \forall n\in \mathbb {N} {\frac {1}{n}}\geq n$ אבל מכך נובע שהטבעים חסומים ולכן סותר את עקרון הארכימדיות.

משפט 3: תכונת שקולה לתכונת הארכימדס: $\exists b,0<a\in \mathbb {R} \Rightarrow \exists n\in \mathbb {N} b<na$ מכיוון ראשון, נניח בשלילה כי $\forall n\in \mathbb {N} na\leq b$ אזי מתקיים $n\leq {\frac {b}{a}}$ בסתירה לארכימדיות. מכיוון שני, נציב $a=1$ כך שלכל $\forall b\in \mathbb {R} \ \exists n\in \mathbb {n} \ s.t\ b<n$ בסתירה לארכימדיות.

הגדרה 3: שדה לא ארכימדי שדה בו הטבעים אינם חסומים נקרא שדה לא ארכימדי

משפט 4: אקסיומת השלמות (נוסח שני): תהי $\emptyset \neq A\subseteq \mathbb {R}$ וחסומה מלמעלה בממשים ותהי $S\in \mathbb {R}$ : $S=supA$ $\forall a\in A,x\in \mathbb {F} \ x<a\leq b$ $\forall \epsilon >0\exists a\in A\ s-\epsilon <a$ סעיף א' גורר סעיף ב': נתון כי $S=supA$ הוא בהכרח חסם מלמעלה לכל $a\in A$. יהי $x\in \mathbb {R}$ כך ש-$x<b$. $x$ אינו חסם של $A$ מפני שנתון כי $S$ סופרמום שלה וקיים רק סופרמום יחיד. לכן $\forall \epsilon >0\exists a\in A\ s-\epsilon <a\leq s$ בהכרח מתקיים $\exists a\in A\ x<a$ ועל כן $\forall a\in A,x\in \mathbb {F} \ x<a\leq b$ סעיף ב' גורר סעיף ג': נתון כי $S$ הוא חסם מלמעלה. צריך להראות כי מתקיים $\forall \epsilon >0\exists a\in A\ s-\epsilon <a$ יהי $x=s-\epsilon$ על פי הנתון בסעיף 2 מתקיים $x<a\leq s$ ולכן $S$ חסם עליון. סעיף ג' גורר סעיף א': נתון כי $S$ חסם עליו. נניח בשלילה כי קיים חסם עליון אחר קטן יותר ממנו, $s_{0}<S$ המקיים $\forall \epsilon >0\exists a\in A\ s_{0}-\epsilon <a$ יהי $\epsilon =s-s_{0}>0$ נציב ב-$a>s-\epsilon =s-(s-s_{0})=s_{0}$ כלומר קבלנו ש-$s_{0}<a$ הוא איבר שקטן ממש מאיבר אחר בקבוצה ולכן אינו חסם.

משפט 5: למת החתכים:יהיו $\emptyset \neq L,U\subset \mathbb {R}$ כך שמתקיים $\forall l\in L\ u\in U\ l\leq u$. התנאים הבאים שקולים. קיים $c\in \mathbb {R}$ יחיד כך ש- $\forall l\in L\forall u\in Ul\leq c\leq u$ $sup(L)=inf(U)$ $\forall \epsilon >0\ \exists l\in L\ \exists u\in U\ u-l\leq \epsilon$ סעיף 1 גורר סעיף 2: נוכיח כי מתקיים: יהי $\emptyset \neq L,U\subset \mathbb {R}$ כך $\forall l\in L\ u\in U\ l\leq u$ אזי קיים $sup(L)$ ו-$Inf(u)$ מתקיים $sup(L)\leq inf(u)$ יהי $u\in U$ מתקיים $\forall l\in L\ l\leq u$ ולכן $u$ הוא חסם מלעיל של $L\neq \emptyset$ מתכונת החסם העליון נובע שיש $sup(L)\leq u$ והוא נכון לכל איבר בקובצה ולכן $sup(L)$ הוא חסם מלמטה של הקבוצה $U$ מתכונת החסם התחתון נובע שיש $l\leq inf(u)$ והוא נכון לכל איבר בקבוצה ולכן מתקיים $sup(L)\leq inf(U)$ הוכחנו כי מתקיים ש- $sup(L)\leq inf(U)$. נניח בשלילה קיים $c$ אבל $l\leq sup(L)<inf(U)\leq u$ על פי סעיף א' קיים $c\in \mathbb {R}$ בין $\forall l\in L\forall u\in Ul\leq c\leq u$ ולכן מתקיים $c=inf(U)$ או $sup(L)=c$ ומכאן ש-$inf(U)\leq sup(L)\land sup(L)\leq inf(U)$ כלומר $Inf(U)=sup(L)$ סעיף 2 גורר סעיף 3: יהי $\epsilon >0$. נתון כי קיים $l=sup(L)$. יהי $sup(L)-{\frac {\epsilon }{2}}<l$ נתון כי קיים $u=inf(u)$. יהי $u<inf(u)+{\frac {\epsilon }{2}}$ נחבר את אי השוויוניים ונקבל, $u+sup(L)-{\frac {\epsilon }{2}}<inf(u)+{\frac {\epsilon }{2}}+L$ נעביר אגפים, $u-l<inf(u)-sup(L)+{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}$ נתון $sup(L)=inf(U)$ ולכן נקבל$u-l<\epsilon$ סעיף 3 גורר סעיף 1: נניח בשלילה כי קיימים $c_{1},c_{2}\in \mathbb {R}$ כך ש-$c_{1}<c_{2}$ ו-$\forall l\in L\ \forall u\in U\ l\leq c_{1}\leq c_{2}\leq u$ נכפיל במינוס אחד את אי השיוויון $l\leq c_{1}$ ונקבל $\forall l\in L\ -c_{1}\leq -l$ נחבר את אי השיוויון עם $c_{2}\leq u$ ונקבל $c_{1}<c_{2}$ ו-$\forall l\in L\ \forall u\in U\ c_{2}-c_{1}\leq u-l$ יהי $2\epsilon =c_{2}-c_{1}\leftrightarrow \epsilon ={\frac {c_{2}-c_{1}}{2}}>0$ אזי על פי סעיף 3 מתקיים $\underbrace {c_{2}-c_{1}} _{2\epsilon }\leq u-l<\epsilon$ בסתירה לטריכוטומיה.