שיחה:חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/חוקי הגבולות וכלל הסנדוויץ'

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בכתיבת דף זה, הייתה לי דילמה מסוימת. כידוע, אחד מהגבולות החשובים ביותר בחשבון אינפיניטסימלי הוא הגבול של sinx/x ששווה ל-1 כאשר x שואף לאפס.. השאלה היא איפה להכניס את הגבול הזה ואת ההוכחה שלו? לעיתים אני רואה שמכניסים אותה מיד לאחר כלל הסנדוויץ', כנראה מכיוון שזו דוגמא יפה לשימוש בכלל. במקומות אחרים אני רואה שמכניסים את הגבול הרבה מאוחר יותר, בפרק הנגזרות כשצריך להתמודד עם הבעיה של מציאת הנגזרות לפונקציות הטריגונומטריות. גם בדרך זו יש יתרון מסוים כי אז רואים למה בדיוק הגבול הזה הוא כה חשוב וכי מציאת הנגזרות לפונ' הטריגו' תלויה לחלוטין בו. כתיבת הגבול וההוכחה זה לא עניין קשה כלל. יש ערך משביע רצון בויקיפדיה העברית, ניתן פשוט להעתיק משם. אבל איפה להכניס את זה, זו השאלה. בינתיים אני משאיר את העמוד כפי שהוא כי עוד לא הגעתי למסקנה חד-משמעית בנוגע לעניין. אשמח לשמוע דיעות.

כמו-כן, יש פה בלאגן עם אחת מהדוגמאות ששמתי. בדוגמה השלישית, x צריך לשאוף לאפס בגבול אחרת התרגיל לא ממש הגיוני (אין שום צורך במניפולציות אלגבריות). אני אתקן את זה כשיהיה לי זמן.

CommandoGuard 15:18, 12 באוקטובר 2006 (IST)

לדעתי כל הפרק הזה בעייתי מאוד. הוא אומנם נותן אינטואיציה אך לא מלמד שיטתית ואפילו יכול ליצור תשתית רעה של ידיעת מושג הגבול. יש צורך להוסיף פרק אחרי הפרק חשבון אינפיניטסימלי/גבולות/ההגדרה המדויקת של הגבול או אולי אפילו מספר פרקים שיכללו את הנושאים הבאים (בין היתר ואולי שכחתי משהו):
  • הוכחה מדויקת של כל הכללים הנלמדים כאן.
  • הוכחת משפט הסנדויץ.
  • תאור מקרים בהל לא קיים גבול (ארבעה שונים לדוגמא: , פונקציית דיריכלה), כל זה כהכנה לקראת הפרק הדן ברציפות.
  • הוכחת מספר גבולות חשובים, ומתן כלים למציאת גבולות (למשל בחלוקת פולינומים וכו').
תחת אחד מסעיפים אלו יכולה לבוא דוגמא זו, ועוד דוגמאות אחרות חשובות. גיל
ממה שראיתי ברוב ספרי החדו"א תמיד מתחילים קודם בהגדרות אינטואיטיביות למושג הגבול והמחשות גרפיות ורק אחר כך נותנים את ההגדרה, כנראה כדי "לרכך את המכה". שני הדברים הראשונים שאמרת בהחלט צריכים להופיע ומראש תכננתי ליצור פרק "הוכחות" בו חוקי הגבולות (או רובם. אפשר להשאיר חלק כתרגילים טובים לתרגול הגדרת הגבול המדויקת). הדבר השלישי, מקומו בדוגמאות לאורך המאמר על ההגדרה המדויקת. כשאתה אומר "גבולות חשובים" אני מניח שאתה מתכוון לדברים כמו הגבול של sinx/x = 1 (כאשר איקס שואף לאפס) או (1+x) בחזקת (אחד חלקי איקס) שווה ל-e (כאשר איקס שואף לאפס), למרות שהשני הוא למעשה הגדרה. כפי שאמרתי, אני לא בטוח איפה כדאי לשים את אלו ואחרים. בספרים מסוימים ראיתי שמציגים אותם רק כשמגיעים לנגזרות, כדי להגיע לנגזרות של הפונ' הטריגו' והמעריכית. מצד שני, ראיתי גם ספרים שמלמדים חשבון אינטגרלי, אז גבולות ורציפות, ואז חשבון דיפרנציאלי, אז לך תדע מה זה "השיטה הנכונה" לכתיבה ולימוד חדו"א. בכל מקרה, מחר אני אתחיל לעבוד על פרק ההוכחות, שכן באמת אי אפשר להמשיך הלאה בלעדיו. CommandoGuard 21:26, 13 באוקטובר 2006 (IST)