פיזיקה תיכונית/מבוא לפיזיקה/גרפים

שימו לב: בפרק זה יש הרבה מושגים, יכול להיות שייקח קצת זמן עד שתקלטו לחלוטין יכול להיות שעדיף שלא להתעכב על דברים שלא מובנים עד הסוף ועם המשך הלימוד הם יתבהרו

שתי דרכים פופולריות בפיזיקה להצגת נתונים וקשרים בין משתנים הן גרפים ופונקציות, נסביר באמצעות דוגמה (הערה: המספרים בדוגמה הם לאילוסטרציה בלבד הם לא ממש סבירים):

בכיתה מסוימת משתנה הטמפרטורה כתוצאה ממספר התלמידים הנוכחים, כלומר החום עולה בכיתה ככל שיש יותר תלמידים. המורה ערך חמש בדיקות ובכל פעם רשם מה היה החום ומה היה מספר התלמידים בכתה באותו רגע.

טבלה

אפשר להציג את תוצאות הבדיקה בטבלה כך שכל עמודה מתייחסת לבדיקה אחת. צריך לכתוב בראש כל שורה מה היא מכילה ואת היחידות שבהם הנתונים מוצגים, במקרה שלנו בחרנו לסמן את מספר התלמידים ב n ובגלל שזה מספר פשוט אין לו יחידות, החום מסומן בT והיחידות שלו הם צלסיוס (C).

תוצאות הבדיקה

n	1	2	3	4	5
T(c)‎	5.6	5.9	6.7	7.1	7.3

דיאגרמת פיזור

אפשרות נוספת היא להציב את הנתונים במערכת צירים כך שכל נקודה תסמל בדיקה אחת, תרשים מסוג זה נקרא דיאגרמת פיזור.

• במערכת צירים הציר המאוזן נקרא ציר X והציר המאונך נקרא ציר .Y
• כל נקודה שמוצבת במערכת צירים יש לה ערך X וערך Y ערכים אלו מסמנים את מיקום הנקודה במישור, ערכים אלו נכתבים כך (ערך ציר Y ;ערך ציר X) לדוגמה (5.6 ; 1).
• לרוב הנקודה בה הצירים חותכים זה את זה הערך שלה הוא (0 ; 0) ונקראת ראשית הצירים.
• צריך להגדיר כל ציר מה הוא מביע ואת היחידות שבהם הערכים מובעים חשוב לרשום זאת בראשית הציר.
• כשמשתנה A גורם למשתנה B להשתנות (במקרה שלנו מספר התלמידים גורם לשינוי בחום) אפשר לומר ש B הוא התלוי של A או בלשון אחרת B הוא פונקציה של A.
• המשתנה התלוי מוגדר בדרך כלל כציר המאונך (במקרה שלנו החום).

גרף

גרף הוא תרשים כמו דיאגרמת פיזור חוץ מכך שהוא לא מציג נקודות אלא קו רציף.

• הקו נקרא עקומה (גם אם הוא ישר) והעקומה עם הצירים נקרא גרף.
• גרף שהוא קו ישר נקרא לינארי.
• אם נתון לנו דיאגרמת פיזור ואנו רוצים להׂפכה לגרף נעביר קו כך שיעבור בצורה סבירה ליד הנקודות של הדיאגרמה (ברמה הזו סביר שידרשו מכם להפוך מנקודות לגרף רק גרף לינארי).
• הגרף בעצם קובע כלל, כלומר איך הקשר יפעל תמיד גם במקרים שלא מדדנו (בדוגמה שלנו הגרף מנבא מה יהיה החום בכיתה כשאין תלמידים).
• לפעמים חלק מניבויי הגרף הם חסרי משמעות לכן צריך להפעיל שכל ישר מה אפשר להוציא מהגרף ומה לא (לדוגמה אצלנו הגרף אומר מה יהיה החום עם הוספת חצי תלמיד דבר שכמובן לא הגיוני).
• לאחר ששרטטנו את הגרף מתעלמים מהנקודות המקוריות ומתייחסים רק לגרף.
• טיפ: כשמשרטטים את העקומה כדאי לשחק איתה כך שהיא תיפול על שתי מקומות שבהם הנקודות הם עם ערך עגול דבר זה יעזור בחישובים עתידיים.
• אם אנו רוצים קשר פשוט בין המשתנים העקומה צריכה להיות בצורה פשוטה: קו ישר פרבולה וכדו'

פונקציה מתמטית

הענף המתמטי שעוסק בהצגת צורות גאומטריות כפונקציות מתמטיות נקרא הנדסה אנליטית (או גאומטריה אנליטית).

פונקציה משווה את הY לנוסחה מסוימת שהמשתנה בה הוא X כך שכל X שנבחר יש לו ערך Y מתאים לדוגמה הפונקציה שמתארת קו ישר כללי נראית כך: y=mx+b, כש-m ו-b הם קבועים כך שאם נקח לדוגמה דוגמה ספציפית של פונקציה זו: y=6x+2 ונציב x=3 הערך של הy יהיה y=6*3+2=20 כך שבנקודה -על הישר שמתואר בפונקציה- שבה הערך של הx הוא 3 ערך הy הוא 20 וכך אם נציב ערכים שונים של x נקבל בכל פעם ערך שונה של y כך שכל הנקודות שמתקבלות מהפונקציה הזו יוצרת ישר (הרי ישר מורכב מאינסוף נקודות).

כך שאם יש לנו גרף מסוים אפשר להביע אותו באמצעות פונקציה מתמטית.

• כאמור פונקציה לינארית (שמתארת קו ישר) נראית כך: y=mx+b כשה-m הוא קבוע שאומר מה השיפוע ו-b הוא קבוע שאומר היכן הקו חותך את ציר ה-y
• אפשר לסמן את העובדה שY תלוי בX כך y(x)‎ או y=f(x)‎, לדוגמה: y(x)=6x+2, יש לשים לב שהסוגריים לא אומרים שיש לעשות כפל אלא הם מורים על תלות בין משתנים.
• יש פונקציות שמתארות צורות יותר מורכבות. לדוגמה הצורה הזאת (פרבולה): מתוארת ע"י הפונקציה y=x^2. וזאת: ע"י y=x^3
• אפשר לומר שגרף הוא הבעה גרפית של פונקציה.

שיפועים ושטחים

לפעמים יועיל לנו לדעת מה השיפוע של גרף בנקודה מסוימת או מהו השטח הכלוא תחת הגרף כיוון שלפעמים הם מייצגים גדלים פיזיקליים נוספים.

היחידות של הגודל הפיזיקלי שמובע באמצעות השיפוע מתקבל באמצעות חילוק יחידות ציר הY ביחידות ציר הX היחידות של הגודל הפיזיקלי המובע באמצעות השטח מתקבל מכפילות יחידות ציר הY ביחידות ציר הX

שיפועים

קו ישר (לינארי):

• בקו ישר השיפוע אחיד
• אם נתונה הפונקציה השיפוע ערך השיפוע הוא המקדם של הX
• אם לא נתונה הפונקציה אפשר למצוא את השיפוע באמצעות שתי נקודות ע"י שימוש בנוסחה $m={\frac {y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}}$ לא חשוב איזה מהנקודות אני שם את הY ראשון אבל צריך להיות עקביים לשים גם את ערך הX שלה ראשון

דוגמה יש לי שתי נקודות שנמצאות על ישר מסוים (10;2) (19;5) נציב בנוסחה ונקבל $m={\frac {10-19}{2-5}}=3$ כלומר השיפוע שווה שלוש

• כשהשיפוע שווה אפס הפונקציה נקראת קבועה היא נראית כך y=b העקומה מקבילה לציר X

קו לא לינארי:

• השיפוע משתנה לאורך הגרף.
• אם אנו רוצים לדעת את השיפוע בנקודה מסוימת (A) יש לבחור נקודה נוספת (B) ולמצוא את השיפוע בין שתי הנקודות האלו (תמונה), ככל שהנקודה השנייה יותר קרובה לראשונה השיפוע יותר מדויק.

• שיפוע מוגדר בעצם כשיפוע בין שתי נקודות כשהמרחק ביניהם שואף לאפס.
• אם ידוע לנו הפונקציה של הגרף אפשר להשתמש בנגזרת (להלן הסבר בשימוש בנגזרת).

נגזרת: נגזרת של פונקציה אומרת מה השיפוע של הנקודות בפונקציה.

אנו גוזרים על פי הכללים הבאים:

• הנגזרת של מספר קבוע שווה לאפס הנגזרת של המשתנה X שווה לאחד הנגזרת של X^2 שווה ל 2X הנגזרת של X^3 שווה ל 3X^2
• הכלל הוא שהנגזרת של $x^{n}$ שווה ל $nx^{n-1}$
• לא נוגעים במקדם של המשתנה, לדוגמה אם יש לי פונקציה כזאת $5x^{3}$ הנגזרת תיראה כך $5\cdot 3x^{2}$
• אנו גוזרים כל איבר בנפרד לדוגמה אם יש לנו פונקציה כזאת $4x^{3}+x^{2}+7x+8$ הנגזרת תיראה כך $12x^{2}+2x+7$

הערות:

• נגזרת של פונקציה יוצרת פונקציה חדשה שמסומנת $f'(x)$, לדוגמה אם הפונקציה המקורית נראתה כך $f(x)=5x^{2}+3x+7$ לאחר שנגזור נקבל פונקציה חדשה שתראה כך $f'(x)=10x+3$
• אם אני רוצה לציין את הפונקציה המקורית ואת הפונקציה של הנגזרת אפשר לסמן זאת כך $(f(x))'=f'(x)$ לדוגמה $(4x^{3})'=12x^{2}$.
• הסימן $\ {\frac {df}{dx}}$ אומר שגוזרים את הפונקציה f על בסיס x כלומר שהמשתנה של הפונקציה הוא x.
• על מנת למצוא את השיפוע בנקודה מסוימת יש להציב בפונקציה הגזורה $f'(x)$ את ערך הx של הנקודה המבוקשת ולפתור אותה הפתרון הוא השיפוע לדוגמה אם יש לנו את הפונקציה הנגזרת $f'(x)=15x^{2}$ ואנו רוצים לדעת מה השיפוע בנקודה (40;2) נציב x=2 בפונקציה הגזורה ונקבל $f'(x)=15(2)^{2}=60$ כלומר השיפוע בנקודה זו שווה לשישים.

שטחים

קווים ישרים: על מנת למצוא את השטח הכלוא תחת הגרף כשהגרף מורכב קווים ישרים יש למצוא איזה צורות גאומטריות אפשר לפרק את השטח ולפתור על פי הנוסחאות הגאומטריות המתאימות, לרוב השטח יהיה בצורה של משלוש מרובע או טרפז. להלן כמה גרפים שיוצרים צורות גאומטריות פשוטות.

נוסחאות למציאת שטח:

• שטח מרובע = רוחב*אורך = רוחב כפול אורך.
• שטח משולש = בסיס*גובה\2 = בסיס כפול גובה חלקי שתים.
• שטח טרפז = (בסיס1+בסיס2)גובה\2 = סכום בסיסים כפול גובה חלקי שתים.

קו לא לינארי: כשהקו הוא לא לינארי ולכן אין נוסחה גאומטרית פשוטה לחישוב השטח אפשר למצוא ערך מקורב לשטח ע"י חלוקת השטח למרובעים שווים ולחשב מה גדלו של מרובע יחיד ולנסות לאמוד כמה מרובעים יכולים להיכנס בשטח שלנו ולהכפיל את מספר המרובעים בערך של מרובע יחיד, כאמור שיטה זאת נותנת תוצאות מקורבות בלבד והיא גם מפרכת ישנה עוד שיטה למציאת שטח והיא אינטגרל.

אינטגרל: פעולת האינטגרציה היא בעצם הפעולה ההפוכה לגזירה לדוגמה אם היה לנו פונקציה מקורית וגזרנו אותה אם נעשה אינטגרל לפונקציה הגזורה נקבל בחזרה את הפונקציה המקורית. כללים האינטגרל:

• האינטגרל של מספר קבוע (a) הוא ax האינטגרל של x הוא ${\frac {x^{2}}{2}}$ האינטגרל של x^2 הוא ${\frac {x^{3}}{3}}$ האינטגרל של x^3 הוא ${\frac {x^{4}}{4}}$ הכלל הוא שהאינטגרל של הפונקציה x^n שווה ל ${\frac {x^{n+1}}{n+1}}$
• גם פה לא נוגעים במקדם של המשתנה ועושים אינטגרל לכל איבר בנפרד כמו בנגזרת.
• למעשה אם בפונקציה המקורית היה מספר קבוע לאחר שגזרנו את הפונקציה האינטגרל לא יכול לשחזר את המספר ולכן מוסיפים בסוף האינטגרל C שמסמן את הקבוע האבוד בחישוב שטחים (מיד) המספר הזה לא משנה כי הוא מצטמצם

על מנת לחשב את השטח הכלוא בין שתי הפונקציות $f_{1}(x)$ ו $f_{2}(x)$ כשהפונקציה $f_{1}(x)$ היא העליונה ובתווכי האיקסים מ $x_{1}$ עד $x_{2}$ כש $x_{1}$ הוא הגבול השמאלי,

נפעל בצעדים הבאים:

1. נכתוב $\int _{x_{1}}^{x_{2}}(f_{1}(x)-f_{2}(x))\,dx$ (הגבול השמאלי של הX כתוב למטה באס והגבול הימני למעלה הפונקציה העליונה כתובה ראשונה ומפחיתים ממנה את הפונקציה התחתונה).
2. אם אפשר יש לצמצם את הפונקציות זאת בזאת.
3. נוציא אינטגרל מהפונקציה המשולבת של שתי הפונקציות המקוריות ונכתוב $f|_{x_{1}}^{x_{2}}$ כשf זה הפונקציה המשולבת לאחר שעשינו אינטגרל.
4. נציב את שתי הX בפונקציה האינטגרלית כך $f(x_{2})-f(x_{1})$ ההפרש שלהם שווה לשטח הכלוא בין הגרפים בתווך האיקסים האמור כלומר $f(x_{2})-f(x_{1})=s$.

הערה:

• כשאנו מחפשים את השטח בין עקומה לציר הX הפונקציה שמגדירה את ציר הX היא Y=0.

דוגמה: אנו רוצים לדעת מה השטח תחת הפונקציה $f(x)=3X^{2}+5$ לציר X בין X=3 עד לX=7.

• נכתוב:$\int _{3}^{7}(f(x)-0)\,dx=\int _{3}^{7}(3x^{2}+5-0)\,dx$.
• נוציא אינטגרל: $X^{3}+5x|_{3}^{7}$.
• נציב את האיקסים ונמצא את השטח (s)‏: $s=(7)^{3}+5(7)-((3)^{3}+5(3))={\color {blue}336}$

הפרק הקודם: יחידות מדידה

גרפים תרגילים

הפרק הבא: מכניקה