בסעיף זה נחזור בקצרה על חלק מההגדרות הבסיסיות של המספרים המרוכבים והתכונות שלהם. נזכיר שהמספרים המרוכבים מתקבלים מהוספה לממשיים סימן נוסף
i
{\displaystyle i}
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
קבוצת המספרים המרוכבים מוגדרת:
C
=
{
a
+
b
i
:
a
,
b
∈
R
}
{\displaystyle \mathbb {C} =\{a+bi:a,b\in \mathbb {R} \}}
חלק ממשי ומדומה [ עריכה ] אם
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
a
{\displaystyle a}
הממשי של
z
{\displaystyle z}
b
{\displaystyle b}
המדומה של
z
{\displaystyle z}
Re
(
z
)
=
a
Im
(
z
)
=
b
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Re}}(z)=a\\{\text{Im}}(z)=b\end{aligned}}}
לכל מספר מרוכב
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
המספר הצמוד לו
z
¯
=
a
−
b
i
{\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}
נשים לב שמתקיימות הזהויות הבאות:
Re
(
z
)
=
z
+
z
¯
2
Im
(
z
)
=
z
−
z
¯
2
i
{\displaystyle {\begin{aligned}{\text{Re}}(z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\\{\text{Im}}(z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}\end{aligned}}}
המישור המרוכב [ עריכה ] אפשר לזהות בין נקודות ב־
R
2
{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
a
+
b
i
{\displaystyle a+bi}
(
a
,
b
)
{\displaystyle (a,b)}
חיבור וכפל של מספרים מרוכבים [ עריכה ] ישנן שתי גישות להגדרת הכפל והחיבור במספרים המרוכבים. הדרך הראשונה היא להתייחס ל־
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
(
a
1
,
b
1
)
+
(
a
2
,
b
2
)
=
(
a
1
+
a
2
,
b
1
+
b
2
)
(
a
1
,
b
1
)
⋅
(
a
2
,
b
2
)
=
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
,
a
1
b
2
+
a
2
b
1
)
{\displaystyle {\begin{matrix}(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2})\\\\(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\end{matrix}}}
הקבוצה והפעולות יחדיו מגדירות שדה.
דרך נוספת להגדיר את הפעולות הבינאריות על המספרים המרוכבים היא להגדיר את קבוצת המספרים המרוכבים בתור
C
=
{
a
+
b
i
:
a
,
b
∈
R
}
{\displaystyle \mathbb {C} =\{a+bi:a,b\in \mathbb {R} \}}
(
a
1
+
b
1
i
)
+
(
a
2
+
b
2
i
)
=
(
a
1
+
a
2
)
+
(
b
1
+
b
2
)
i
(
a
1
+
b
1
i
)
(
a
2
+
b
2
i
)
=
a
1
a
2
+
a
1
b
2
i
+
a
2
b
1
i
+
b
1
b
2
i
2
=
a
1
a
2
+
a
1
b
2
i
+
a
2
b
1
i
+
b
1
b
2
(
−
1
)
=
(
a
1
a
2
−
b
1
b
2
)
+
(
a
1
b
2
+
a
2
b
1
)
i
{\displaystyle {\begin{matrix}(a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i\\\\(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+a_{2}b_{1}i+b_{1}b_{2}i^{2}=a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+a_{2}b_{1}i+b_{1}b_{2}(-1)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})i\end{matrix}}}
ניתן לראות כי ההגדרות שקולות לחלוטין.
היתרון בהגדרת
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
n
{\displaystyle n}
בדיוק
n
{\displaystyle n}
לכל היותר
n
{\displaystyle n}
נורמה וארגומנט של מספר מרוכב [ עריכה ] פתרון משוואות מרוכבות [ עריכה ] מציאת שורשים למספרים מרוכבים [ עריכה ] שורשי היחידה [ עריכה ] 
