פונקציות מרוכבות/מספרים מרוכבים - חזרה

בסעיף זה נחזור בקצרה על חלק מההגדרות הבסיסיות של המספרים המרוכבים והתכונות שלהם. נזכיר שהמספרים המרוכבים מתקבלים מהוספה לממשיים סימן נוסף $i$ הפותר את המשוואה $i^{2}=-1$ .

קבוצת המספרים המרוכבים מוגדרת:

$$\mathbb {C} =\{a+bi:a,b\in \mathbb {R} \}$$

חלק ממשי ומדומה

אם $z=a+bi$ מספר מרוכב, נקרא ל־$a$ החלק הממשי של $z$ ול־$b$ החלק המדומה של $z$ . בסימונים מתמטיים נסמן זאת כך:

$${\begin{aligned}{\text{Re}}(z)=a\\{\text{Im}}(z)=b\end{aligned}}$$

לכל מספר מרוכב $z=a+bi$ אפשר להתאים את המספר הצמוד לו

$${\bar {z}}=a-bi$$

נשים לב שמתקיימות הזהויות הבאות:

$${\begin{aligned}{\text{Re}}(z)={\frac {z+{\bar {z}}}{2}}\\{\text{Im}}(z)={\frac {z-{\bar {z}}}{2i}}\end{aligned}}$$

המישור המרוכב

אפשר לזהות בין נקודות ב־$\mathbb {R} ^{2}$ לבין $\mathbb {C}$ על־ידי זיהוי $a+bi$ עם הזוג הסדור $(a,b)$ . נשים לב שההתאמה הנ"ל היא חח"ע ועל.

חיבור וכפל של מספרים מרוכבים

ישנן שתי גישות להגדרת הכפל והחיבור במספרים המרוכבים. הדרך הראשונה היא להתייחס ל־$\mathbb {C}$ כקבוצת זוגות סדורים, ולהגדיר את הפעולות הבאות:

$${\begin{matrix}(a_{1},b_{1})+(a_{2},b_{2})=(a_{1}+a_{2},b_{1}+b_{2})\\\\(a_{1},b_{1})\cdot (a_{2},b_{2})=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2},a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})\end{matrix}}$$

הקבוצה והפעולות יחדיו מגדירות שדה.

דרך נוספת להגדיר את הפעולות הבינאריות על המספרים המרוכבים היא להגדיר את קבוצת המספרים המרוכבים בתור $\mathbb {C} =\{a+bi:a,b\in \mathbb {R} \}$ כפי שהוגדרה בתחילת הפרק. ואז, בשימוש באלגברה של מספרים ממשיים:

$${\begin{matrix}(a_{1}+b_{1}i)+(a_{2}+b_{2}i)=(a_{1}+a_{2})+(b_{1}+b_{2})i\\\\(a_{1}+b_{1}i)(a_{2}+b_{2}i)=a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+a_{2}b_{1}i+b_{1}b_{2}i^{2}=a_{1}a_{2}+a_{1}b_{2}i+a_{2}b_{1}i+b_{1}b_{2}(-1)=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})i\end{matrix}}$$

ניתן לראות כי ההגדרות שקולות לחלוטין.

היתרון בהגדרת $\mathbb {C}$ כשדה, הוא שמתקיים בה המשפט היסודי של האלגברה: לכל פולינום ממעלה $n$ במרוכבים יש בדיוק $n$ שורשים. גרסתו של משפט זה במספרים הממשיים מבטיחה לכל היותר $n$ שורשים.

שורשי היחידה

-

מספרים מרוכבים - חזרה

הפרק הבא: טופולוגיה במישור