פונקציות מרוכבות/טופולוגיה במישור

הערה: בפרק זה אין הבדל בין $\mathbb {R} ^{2}$ ל־$\mathbb {C}$ , לכן ארשה לעצמי להחליף ביניהם כשיהיה צורך כדי להקל הגדרות מסוימות.

כשם שבאנליזה ממשית התעניינו בקטעים פתוחים וסגורים של הישר הממשי, באנליזה מרוכבת נתעניין בתת־קבוצות של המישור המרוכב שיש להן תכונות דומות.

קבוצות פתוחות וסגורות

הגדרה: כדור פתוח הכדור הפתוח סביב המספר המרוכב $z_{0}$ ברדיוס $r$ הוא קבוצת המספרים המרוכבים $B(z_{0},r)=\{z\in \mathbb {C} :\|z-z_{0}\|<r\}$

באופן מתאים, ניתן להגדיר:

הגדרה: כדור סגור הכדור הסגור סביב המספר המרוכב $z_{0}$ ברדיוס $r$ הוא קבוצת המספרים המרוכבים ${\bar {B}}(z_{0},r)=\{z\in \mathbb {C} :\|z-z_{0}\|\leq r\}$

קל לראות מאיפה מגיעה האינטואיציה להגדרה הנ"ל. הכדור הפתוח, הוא אוסף כל הנקודות שמרחקן מהנקודה $z_{0}$ קטן יותר מ־$r$ , לא כולל. הכדור הסגור הוא האיחוד של הכדור הפתוח עם השפה של הכדור. נגדיר מתמטית את הכוונה שלנו ב"שפת הכדור":

הגדרה: שפת כדור שפת הכדור סביב המספר המרוכב $z_{0}$ ברדיוס $r$ היא קבוצת המספרים המרוכבים $\partial B(z_{0},r)=\{z\in \mathbb {C} :\|z-z_{0}\|=r\}$

זהו בעצם המעגל סביב $z_{0}$ שרדיוסו $r$ .

הקשר בין ההגדרות הנ"ל הוא כדלהלן:

${\bar {B}}(z_{0},r)=B(z_{0},r)\cup \partial B(z_{0},r)$

כעת נגיע להגדרות המרכזיות של הפרק הזה:

הגדרה: קבוצה פתוחה קבוצה $A\subseteq \mathbb {C}$ תקרא פתוחה אם לכל $z\in A$ קיים $r>0$ עבורו $B(z,r)\subseteq A$

שים לב: הקבוצה הריקה היא פתוחה. למרות שאפשר לנמק זאת לוגית, אפשר לראות בזה גם כסוג של קונוונציה.

קל להבחין בעובדות הבאות בנוגע לקבוצות פתוחות:

טענה: תכונות יסודיות של קבוצות פתוחות הקבוצה $\mathbb {C}$ היא קבוצה פתוחה. אם $\{U_{j}\}_{j\in J}$ אוסף כלשהו של קבוצות פתוחות, אזי $\bigcup _{j\in J}U_{j}$ קבוצה פתוחה. אם $U,V$ קבוצות פתוחות, אזי $U\cap V$ קבוצה פתוחה.

למרות שתינתן ההוכחה לכך בספר זה, הקורא מתבקש לנסות להוכיח את התכונות האלו בעצמו כדי לוודא שהוא הבין את ההגדרות כראוי.

קודם הגדרנו "כדור פתוח", השאלה האם השם שנתנו לו באמת מוצדק ביחס להגדרה החדשה? הטענה הבאה תראה שכן.

טענה: כדור פתוח הוא קבוצה פתוחה לכל $a\in \mathbb {C} ,r>0$ הקבוצה $B(a,r)$ היא קבוצה פתוחה.

האינטואיציה האנושית אומרת שאם יש משהו פתוח, אז יש גם משהו סגור. ההגדרה הבאה תראה זאת:

הגדרה: קבוצה סגורה קבוצה $A\subseteq \mathbb {C}$ תקרא סגורה אם המשלים שלה הוא קבוצה פתוחה.

שים לב! קבוצות הן לא דלתות, קבוצה סגורה היא לא ההפך מקבוצה פתוחה. למשל, הקבוצה הריקה היא קבוצה פתוחה וסגורה.

הסגור, הפנים והשפה

הגדרה: סגור תהי $S\subseteq \mathbb {C}$ קבוצה במישור המרוכב. הסגור של $S$, המסומן ${\overline {S}}$ או ${\text{Cl}}(S)$, הוא הקבוצה הסגורה המינימלית המכילה את $S$. כלומר אם $\{U_{i}\}_{i\in I}$ הוא אוסף הקבוצות הסגורות כך ש$S\subseteq U_{i}$ לכל $i\in I$, אז ${\overline {A}}=\bigcap _{i\in I}U_{i}$.

הגדרה: פנים תהי $S\subseteq \mathbb {C}$ קבוצה במישור המרוכב. הפנים של $S$, המסומן $S^{\circ }$ או ${\text{Int}}(S)$, הוא הקבוצה הפתוחה המקסימלית המוכלת ב$S$. נגדיר אותה על פי $S^{\circ }=\{z|z\in S\land \exists r>0(r\in \mathbb {R} ),B(z,r)\subseteq S\}$.

הגדרה: שפה תהי $S\subseteq \mathbb {C}$ קבוצה במישור המרוכב. השפה של $S$, המסמונת $\partial S$, מוגדרת על פי $\partial S={\overline {S}}\setminus S^{\circ }$, כלומר היא אוסף הנקודות המפרידות בין $S$ לשאר המישור המרוכב.

קבוצות קומפקטיות ומשפט היינה–בורל

הפרק הקודם: מספרים מרוכבים - חזרה

טופולוגיה במישור

הפרק הבא: אינטגרלים מסילתיים