מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה

כללי

• כלל המעבר - אם A שווה ל-B וB שווה ל-C אזהי ש-A שווה ל-C.

ישרים

• בין שתי נקודות עובר ישר אחד
• זוויות קודקודיות הן שוות
• זוויות צמודות משלימות ל180 מעלות
• זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל180 מעלות
• זוויות מתחלפות או מתאימות בין ישרים מקבילים שוות
• דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד בלבד המקביל לישר

משולשים

• סכום זוויות במשולש הוא 180°
• זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות שהיא לא נוגעת בהן
• חוצה זווית פנימית במשולש מקצה על הצלע שמול קטעים פרופורציוניים לצלעות שליד
• משפט חפיפה צ.צ.צ.
• משפט חפיפה צ.ז.צ.
• משפט חפיפה ז.צ.ז. או ז.ז.צ.
• משפט חפיפה צ.צ.ז.
• משפט דמיון ז.ז.
• משפט דמיון צ.צ.צ.
• משפט דמיון צ.צ.ז.
• משפט דמיון צ.ז.צ.
• במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות ולהפך
• במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס, התיכון לבסיס וחוצה זווית הראש מתלכדים ולהפך
• במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות ולהפך
• במשולש שווה צלעות הגבהים, התיכונים וחוצי הזווית מתלכדים ולהפך
• במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר ולהפך
• משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.
• משפט הסינוסים: בכל משולש מתקיים ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R$. (α = הזווית שמול a, וכן לגבי β ו-b, וגם γ ו-c. R הוא רדיוס המעגל החוסם).
• משפט הקוסינוסים: בכל משולש מתקיים $c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma$. (γ = הזווית שמול c).
• שטח משולש על פי גובה הוא $S={\frac {h_{a}\cdot a}{2}}$
• שטח משולש על פי שתי צלעות וזווית הוא $S={\frac {a\cdot b\cdot \sin \alpha }{2}}$ (α = הזווית בין a ל-b)
• שטח משולש על פי צלע וזוויות הוא $S={\frac {a^{2}\cdot \sin \beta \cdot \sin \gamma }{2\sin \alpha }}$ (α = הזווית שמול a)

מרובעים

• סכום זוויות מרובע הוא 360°
• בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה ולהיפך
• בדלתון האלכסון הראשי חוצה את המשני ולהיפך
• האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זויות הראש
• שטח אלכסון שווה למכפלת האלכסונים חלקי 2
• בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים ולהיפך
• שטח טרפז שווה למכפלת הגובה בממוצע הבסיסים
• במקבילית צלעות נגדיות שוות ולהיפך
• במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה ולהיפך
• שטח מקבילית שווה למכפלת הגובה בצלע שהוא יורד אליה
• במעוין צלעות נגדיות מקבילות
• במעוין האלכסונים הם חוצי זוית
• שטח מעוין שווה למכפלת האלכסונים חלקי 2 או מכפלת הגובה בצלע
• במלבן האלכסונים שווים
• במלבן האלכסונים חוצים זה את זה
• שטח מלבן שווה לאורך כפול הרוחב
• בריבוע האלכסונים שווים זה לזה, חוצים זה את זה, מאונכים זה לזה וחוצי זווית, ולהיפך
• שטח ריבוע שווה לצלע בחזקת 2
• בכל מרובע, שטח המרובע שווה למכפלת האלכסונים בסינוס הזווית שביניהם חלקי 2

מעגלים

• מיתר העובר במרכז המעגל הוא קוטר ולהיפך
• קוטר הוא המיתר הכי ארוך במעגל ולהיפך
• זווית מרכזית במעגל שווה פי 2 מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת
• זוויות היקפיות או מרכזיות הנשענות על קשתות שוות או מיתרים שווים, שוות ולהיפך
• זווית בין שני מיתרים הנפגשים בתוך המעגל שווה לסכום הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות שהמיתרים יוצרים בקצותיהם (ראה תמונה)
• היקף מעגל הוא $P=2\pi R=\pi d$
• שטח עיגול הוא $S=\pi R^{2}$
• אורך קשת הנשענת על זוית מרכזית $\theta$ הוא $P=\theta R$ כאשר הזוית היא ברדיאנים, או $P=\pi R\cdot {\frac {\theta }{180}}$ אם הזוית היא במעלות
• שטח גיזרה הנשענת על זוית מרכזית $\theta$ הוא $S={\frac {\theta R^{2}}{2}}$ או $S=\pi R^{2}\cdot {\frac {\theta }{360}}$
• משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה ולהיפך
• שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים
• אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק
• אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני
• כל משולש ניתן לחסום במעגל
• בכל משולש ניתן לחסום מעגל
• במרובע החסום במעגל, סכום זוויות נגדיות הוא 180°
• מרובע שבו סכום זויות נגדיות הוא 180°, הוא בר-חסימה במעגל
• במרובע החוסם מעגל, סכום צלעות נגדיות שווה
• במרובע שבו סכום צלעות נגדיות שווה ניתן לחסום בו מעגל
• כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל
• בכל מצולע משוכלל ניתן לחסום מעגל
• מרכז מעגל החוסם מצולע הוא מפגש האנכים האמצעיים
• מרכז מעגל החסום במצולע הוא מפגש חוצי הזווית
• אנך אמצעי למיתר עובר במרכז המעגל, חוצה את הקשת ואת הזווית המרכזית ולהיפך
• מיתרים הנמצאים במרחקים שווים מהמרכז שווים ולהיפך
• מיתר הנמצא במרחק גדול מהמרכז ביחס למיתר אחר, קטן ממנו ולהיפך

ראו גם

• הדגמה ויזואלית של כל המשפטים בגאומטריה אוקלידית (הנדסת המישור) לבחינת הבגרות במתמטיקה, לפי רשימת משרד החינוך – אתר המרכז לתכנון לימודים, מכללת קיי
• רשימת משפטים בגיאומטריה שניתן לצטט בבחינת הבגרות ללא הוכחה