מתמטיקה תיכונית/גיאומטריה אוקלידית/משפטים בגאומטריה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
Nuvola apps kcmsystem.png דף זה זקוק לעריכה, על מנת שיתאים לסטנדרטים של ויקיספר העברי
לצורך זה ייתכנו סיבות אחדות: פגמים טכניים כגון מיעוט קישורים פנימיים, סגנון הטעון שיפור או צורך בהגהה. אם אתם סבורים כי אין בדף בעיה, ניתן לציין זאת בדף השיחה שלו.


כללי[עריכה]

  • כלל המעבר - אם A שווה ל-B וB שווה ל-C אזהי ש-A שווה ל-C.

ישרים[עריכה]

  • בין שתי נקודות עובר ישר אחד
  • זוויות קודקודיות הן שוות
  • זוויות צמודות משלימות ל180 מעלות
  • זוויות חד צדדיות בין ישרים מקבילים משלימות ל180 מעלות
  • זוויות מתחלפות או מתאימות בין ישרים מקבילים שוות
  • דרך נקודה מחוץ לישר ניתן להעביר ישר אחד בלבד המקביל לישר

משולשים[עריכה]

  • סכום זוויות במשולש הוא 180°
  • זווית חיצונית למשולש שווה לסכום שתי הזוויות שהיא לא נוגעת בהן
  • חוצה זווית פנימית במשולש מקצה על הצלע שמול קטעים פרופורציוניים לצלעות שליד
  • משפט חפיפה צ.צ.צ.
  • משפט חפיפה צ.ז.צ.
  • משפט חפיפה ז.צ.ז. או ז.ז.צ.
  • משפט חפיפה צ.צ.ז.
  • משפט דמיון ז.ז.
  • משפט דמיון צ.צ.צ.
  • משפט דמיון צ.צ.ז.
  • משפט דמיון צ.ז.צ.
  • במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות ולהפך
  • במשולש שווה שוקיים הגובה לבסיס, התיכון לבסיס וחוצה זווית הראש מתלכדים ולהפך
  • במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות ולהפך
  • במשולש שווה צלעות הגבהים, התיכונים וחוצי הזווית מתלכדים ולהפך
  • במשולש ישר זווית התיכון ליתר שווה למחצית היתר ולהפך
  • משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום ריבועי הניצבים שווה לריבוע היתר.
  • משפט הסינוסים: בכל משולש מתקיים . (α = הזווית שמול a, וכן לגבי β ו-b, וגם γ ו-c. R הוא רדיוס המעגל החוסם).
  • משפט הקוסינוסים: בכל משולש מתקיים . (γ = הזווית שמול c).
  • שטח משולש על פי גובה הוא
  • שטח משולש על פי שתי צלעות וזווית הוא (α = הזווית בין a ל-b)
  • שטח משולש על פי צלע וזוויות הוא (α = הזווית שמול a)

מרובעים[עריכה]

  • סכום זוויות מרובע הוא 360°
  • בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה ולהיפך
  • בדלתון האלכסון הראשי חוצה את המשני ולהיפך
  • האלכסון הראשי בדלתון חוצה את זויות הראש
  • שטח אלכסון שווה למכפלת האלכסונים חלקי 2
  • בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים ולהיפך
  • שטח טרפז שווה למכפלת הגובה בממוצע הבסיסים
  • במקבילית צלעות נגדיות שוות ולהיפך
  • במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה ולהיפך
  • שטח מקבילית שווה למכפלת הגובה בצלע שהוא יורד אליה
  • במעוין צלעות נגדיות מקבילות
  • במעוין האלכסונים הם חוצי זוית
  • שטח מעוין שווה למכפלת האלכסונים חלקי 2 או מכפלת הגובה בצלע
  • במלבן האלכסונים שווים
  • במלבן האלכסונים חוצים זה את זה
  • שטח מלבן שווה לאורך כפול הרוחב
  • בריבוע האלכסונים שווים זה לזה, חוצים זה את זה, מאונכים זה לזה וחוצי זווית, ולהיפך
  • שטח ריבוע שווה לצלע בחזקת 2
  • בכל מרובע, שטח המרובע שווה למכפלת האלכסונים בסינוס הזווית שביניהם חלקי 2

מעגלים[עריכה]

Angle between strings in a circle.jpg
  • מיתר העובר במרכז המעגל הוא קוטר ולהיפך
  • קוטר הוא המיתר הכי ארוך במעגל ולהיפך
  • זווית מרכזית במעגל שווה פי 2 מכל זווית היקפית הנשענת על אותה קשת
  • זוויות היקפיות או מרכזיות הנשענות על קשתות שוות או מיתרים שווים, שוות ולהיפך
  • זווית בין שני מיתרים הנפגשים בתוך המעגל שווה לסכום הזוויות ההיקפיות הנשענות על הקשתות שהמיתרים יוצרים בקצותיהם (ראה תמונה)
  • היקף מעגל הוא
  • שטח עיגול הוא
  • אורך קשת הנשענת על זוית מרכזית הוא כאשר הזוית היא ברדיאנים, או אם הזוית היא במעלות
  • שטח גיזרה הנשענת על זוית מרכזית הוא או
  • משיק למעגל מאונך לרדיוס בנקודת ההשקה ולהיפך
  • שני משיקים למעגל היוצאים מאותה נקודה שווים
  • אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים חותך ומשיק, אז מכפלת החותך בחלקו החיצוני שווה לריבוע המשיק
  • אם מנקודה מחוץ למעגל יוצאים שני חותכים, אז מכפלת חותך אחד בחלקו החיצוני שווה למכפלת החותך השני בחלקו החיצוני
  • כל משולש ניתן לחסום במעגל
  • בכל משולש ניתן לחסום מעגל
  • במרובע החסום במעגל, סכום זוויות נגדיות הוא 180°
  • מרובע שבו סכום זויות נגדיות הוא 180°, הוא בר-חסימה במעגל
  • במרובע החוסם מעגל, סכום צלעות נגדיות שווה
  • במרובע שבו סכום צלעות נגדיות שווה ניתן לחסום בו מעגל
  • כל מצולע משוכלל ניתן לחסום במעגל
  • בכל מצולע משוכלל ניתן לחסום מעגל
  • מרכז מעגל החוסם מצולע הוא מפגש האנכים האמצעיים
  • מרכז מעגל החסום במצולע הוא מפגש חוצי הזווית
  • אנך אמצעי למיתר עובר במרכז המעגל, חוצה את הקשת ואת הזווית המרכזית ולהיפך
  • מיתרים הנמצאים במרחקים שווים מהמרכז שווים ולהיפך
  • מיתר הנמצא במרחק גדול מהמרכז ביחס למיתר אחר, קטן ממנו ולהיפך

ראו גם[עריכה]