מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות

חזקות הן מעין הכללה של פעולת הכפל, ומאפשרות לכתוב ביטויים מסובכים בצורה פשוטה.

סימון חזקות

חזקה מסמנים כאינדקס עליון למספר (או משתנה): 3 בחזקת 5 כותבים כך: $3^{5}$ .

ל-3 נקרא בסיס החזקה. ל-5 נקרא מעריך החזקה.

• כאשר שהמעריך נמצא בחזקת שתיים נהוג לומר בריבוע במקום בחזקת שתיים: $c^{2}$ דהיינו c בריבוע.
• כשהמעריך הוא גדול משתים יש לבטא בשלישית עבור 3, ברביעית עבור 4 וכו': $3^{5}$ יש לבטא 3 בחמישית.
• דרך נוספת לסמן חזקות היא באמצעות סימן הגג: ^. למשל 5^3 זה 3 בחמישית, a^b זה a בחזקת b וכו'.

משמעות החזקה עם מעריך טבעי

אם המעריך הוא מספר טבעי אזי החזקה היא הבסיס כפול עצמו כמספר הפעמים שכתוב במעריך. למשל, כדי לחשב את החזקה $3^{4}$ , עלינו לכפול את 3 בעצמו 4 פעמים על מנת לקבל את הערך של החזקה. כלומר:

$$3^{4}=3\times 3\times 3\times 3$$

באופן כללי ניתן להציג חזקה עם בסיס $a$ ומעריך שהוא מספר טבעי $n$ בצורה הבאה: $$a^{n}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{n{\text{ times}}}$$

דוגמה 1: חשב את החזקה $5^{3}$ $5^{3}=5\times 5\times 5=125$

דוגמה 2: חשב את החזקה $2^{8}$ $2^{8}=\underbrace {2\times \cdots \times 2} _{8{\text{ times}}}=256$

דוגמה 3: חשב את החזקה $\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}$ $\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{2}}\times {\frac {1}{2}}={\frac {1\cdot 1}{2\cdot 2}}={\frac {1}{4}}$

דוגמה 4: חשב את החזקה $(-1)^{3}$ $(-1)^{3}=(-1)\times (-1)\times (-1)=-1$

חוק החילוף אינו מתקיים בחזקה

החזקה לא מקיימת את חוק החילוף (יש מקרים יחידים שהיא כן).

למשל: $10^{3}=10\cdot 10\cdot 10=1000\neq 3^{10}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=59,049$

פעולות על חזקות

כאמור עבור $a^{b}$ הבסיס הוא $a$ ואילו המעריך הוא $b$ . יש לבטא "$a$ בחזקת $b$".

פעולת החשבון המבוקשת	החוק	הסבר	דוגמא
כפל חזקות עם אותו בסיס	$a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c}$	נבדוק כיצד לכפול חזקות עם אותו בסיס: $$a^{b}\cdot a^{c}=\overbrace {\underbrace {a\times \cdots \times a} _{b{\text{ times}}}\cdot \underbrace {a\times \cdots \times a} _{c{\text{ times}}}} ^{b+c{\text{ times}}}=a^{b+c}$$ אם נסתכל על הנוסחה הפוך נבין כיצד לפרש סכום במכנה. $$a^{b+c}=\overbrace {\underbrace {a\times \cdots \times a} _{b{\text{ times}}}\cdot \underbrace {a\times \cdots \times a} _{c{\text{ times}}}} ^{b+c{\text{ times}}}=a^{b}\cdot a^{c}$$ על כן כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא לחיבור/חיסור המעריכים.	${\begin{aligned}a^{2}\cdot a^{3}&=(a\cdot a)\cdot (a\cdot a\cdot a)\\&=a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^{5}=a^{2+3}\end{aligned}}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס	${\frac {a^{b}}{a^{c}}}=a^{b-c}$	נבדוק כיצד לחלק חזקות עם אותו בסיס: ${\frac {a^{b}}{a^{c}}}$ . נבחין בשלושה מקרים. מקרה א': $b>c$ . $${\begin{aligned}{\frac {a^{b}}{a^{c}}}={\frac {\overbrace {a\times \cdots \times a} ^{b{\text{ times}}}}{\underbrace {a\times \cdots \times a} _{c{\text{ times}}}}}\\c+(b-c)=b\\{\frac {\overbrace {a\times \cdots \times a} ^{c{\text{ times}}}\overbrace {a\times \cdots \times a} ^{b-c{\text{ times}}}}{\underbrace {a\times \cdots \times a} _{c{\text{ times}}}}}\end{aligned}}$$ נצמצם מספר שווה של $a$ במונה ובמכנה. $${\begin{aligned}{\frac {\overbrace {\not {a}\times \cdots \times \not {a}} ^{c{\text{ times}}}\overbrace {a\times \cdots \times a} ^{b-c{\text{ times}}}}{\underbrace {\not {a}\times \cdots \times \not {a}} _{c{\text{ times}}}}}&=\overbrace {a\times \cdots \times a} ^{b-c{\text{ times}}}\\&=a^{b-c}\end{aligned}}$$ ניתן להשתמש בנוסחה גם בכיוון ההפוך: $$a^{b-c}={\frac {a^{b}}{a^{c}}}$$	${\frac {a^{3}}{a^{2}}}={\frac {a\cdot a\cdot a}{a\cdot a}}=a=a^{1}=a^{3-2}$
מעריך 0	$a^{0}=1$ כאשר $a\neq 0$	נבדוק מה קורה כאשר המעריך שווה ל-0. לצורך כך נשתמש בנוסחה לחילוק חזקות עם אותו בסיס. נשתמש בעובדה $b-b=0$ $$a^{0}=a^{b-b}={\frac {a^{b}}{a^{b}}}=1$$ לסיכום: כל מספר בחזקת 0 שווה ל-1. $a^{0}=1$ יוצא מן הכלל: $0^{0}$ . הביטוי 0 בחזקת 0 אינו מוגדר..
חזקות עם מעריך שלילי	$$a^{-b}={\frac {1}{a^{b}}}$$	נבדוק מה קורה כאשר המעריך שלילי: $$a^{-b}=a^{0-b}={\frac {a^{0}}{a^{b}}}={\frac {1}{a^{b}}}$$ הערה: 0 בחזקת מספר שלילי שוב יתן חלוקה באפס ולכן אינו מוגדר: $0^{-a}={\frac {1}{0^{a}}}={\frac {1}{0}}$	$2^{-2}={\frac {1}{2^{2}}}={\frac {1}{4}}$
מעריך 1	$$a^{1}=a$$	כל מספר בחזקת 1 שווה לעצמו זאת בגלל הגדרת החזקה.
חזקה של חזקה	$$(a^{b})^{c}=a^{b\cdot c}$$	נשתמש בחוקי חזקות שכבר למדנו, לכפל של שתי חזקות עם אותו בסיס. $$(a^{b})^{c}=\underbrace {a^{b}\times \cdots \times a^{b}} _{c{\text{ times}}}=a^{\overbrace {\scriptstyle {b+\cdots +b}} ^{c{\text{ times}}}}=a^{b\cdot c}=(a^{c})^{b}$$	${\begin{aligned}(5^{2})^{3}&=(5^{2})\cdot (5^{2})\cdot (5^{2})=(5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5)\\&=5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^{6}=5^{2\cdot 3}\end{aligned}}$
כפל חזקות עם אותו מעריך	$a^{c}\cdot b^{c}=(a\cdot b)^{c}$	כאשר כופלים חזקות עם אותו מעריך, אפשר להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים: $$a^{c}\cdot b^{c}=\underbrace {a\times \cdots \times a} _{c{\text{ times}}}\cdot \underbrace {b\times \cdots \times b} _{c{\text{ times}}}$$ על־פי חוק החילוף, נסדר אחרת את המשוואה: $$\underbrace {\underbrace {a\cdot b} \times \cdots \times \underbrace {a\cdot b} } _{c{\text{ times}}}=$$ על־פי חוק הקיבוץ נוסיף סוגריים: $$\underbrace {(a\cdot b)\times \cdots \times (a\cdot b)} _{c{\text{ times}}}=$$ על־פי הגדרת החזקה: $$=(a\cdot b)^{c}$$	${\bigl (}(-2)\cdot 3{\bigr )}^{2}=(-2)^{2}\cdot 3^{2}$
חילוק חזקות עם אותו מעריך	${\frac {a^{c}}{b^{c}}}=\left({\frac {a}{b}}\right)^{c}$	כאשר מחלקים חזקות עם אותו מעריך, באותו אופן ניתן שוב להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים: $${\frac {a^{c}}{b^{c}}}={\frac {\overbrace {a\times \cdots \times a} ^{c{\text{ times}}}}{\underbrace {b\times \cdots \times b} _{c{\text{ times}}}}}$$ נסדר אחרת את השבר: $$\underbrace {{\frac {a}{b}}\times \cdots \times {\frac {a}{b}}} _{c{\text{ times}}}=$$ על־פי הגדרת החזקה: $$=\left({\frac {a}{b}}\right)^{c}$$	$\left({\frac {2}{3}}\right)^{3}={\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {2}{3}}={\frac {2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3}}={\frac {2^{3}}{3^{3}}}$
חזקה של 1	$$1^{a}=1$$	1 בחזקת כל מספר שווה ל־1. זאת בגלל שלא משנה כמה נכפול אותו בעצמו, הוא ישאר 1 זאת בגלל הגדרת החזקה.
חזקה של אפס	$0^{a}=0$ כאשר $a>0$	0 הוא מספר מיוחד בחזקות, והוא אינו מוגדר לכל מעריך. עם מעריך שהוא מספר טבעי ברור לנו שלא משנה כמה פעמים נכפול 0 בעצמו, נקבל 0.

סיכום

החוק	דוגמה
$a^{m}\cdot a^{n}=a^{m+n}$	$10^{3}\cdot 10^{4}=10^{3+4}=10^{7}=10,000,000$
$(a\neq 0)\quad {\frac {a^{m}}{a^{n}}}=a^{m-n}$	${\frac {10^{5}}{10^{3}}}=10^{5-3}=10^{2}=100$
$(a^{m})^{n}=a^{mn}$	$(10^{2})^{3}=10^{2\cdot 3}=10^{6}=1,000,000$
$(a\cdot b)^{n}=a^{n}\cdot b^{n}$	$(2\cdot 5)^{3}=2^{3}\cdot 5^{3}=8\cdot 125=1,000$
$(b\neq 0)\quad \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}$	$\left({\frac {6}{3}}\right)^{2}={\frac {6^{2}}{3^{2}}}={\frac {36}{9}}=4$
$a^{0}=1$	$10^{0}=1$
$a^{-b}={\frac {1}{a^{b}}}$	$2^{-1}={\frac {1}{2}}$

הפרק הקודם: חוקי פעולות החשבון

חוקי חשבון חזקות תרגילים

הפרק הבא: שורשים