מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות

חזקות הן מעין הכללה של פעולת הכפל, ומאפשרות לכתוב ביטויים מסובכים בצורה פשוטה.

סימון חזקות

חזקה מסמנים כאינדקס עליון למספר (או משתנה): 3 בחזקת 5 כותבים כך: $3^5$ .

ל-3 נקרא בסיס החזקה. ל-5 נקרא מעריך החזקה.

• כאשר שהמעריך נמצא בחזקת שתיים נהוג לומר בריבוע במקום בחזקת שתיים: $c^2$ דהיינו c בריבוע.
• כשהמעריך הוא גדול משתים יש לבטא בשלישית עבור 3, ברביעית עבור 4 וכו': $3^5$ יש לבטא 3 בחמישית.
• דרך נוספת לסמן חזקות היא באמצעות סימן הגג: ^. למשל 5^3 זה 3 בחמישית, a^b זה a בחזקת b וכו'.

משמעות החזקה עם מעריך טבעי

אם המעריך הוא מספר טבעי אזי החזקה היא הבסיס כפול עצמו כמספר הפעמים שכתוב במעריך. למשל, כדי לחשב את החזקה $3^4$ , עלינו לכפול את 3 בעצמו 4 פעמים על מנת לקבל את הערך של החזקה. כלומר:

$$3^4=3\times 3\times 3\times 3$$

באופן כללי ניתן להציג חזקה עם בסיס $a$ ומעריך שהוא מספר טבעי $n$ בצורה הבאה: $$a^n=\underset{n\text{ times}}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}$$

דוגמה 1: חשב את החזקה $5^3$ $5^3=5\times 5\times 5=125$

דוגמה 2: חשב את החזקה $2^8$ $2^8=\underset{8\text{ times}}{\underbrace{2\times \cdots \times 2}}=256$

דוגמה 3: חשב את החזקה ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$ ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1\cdot 1}{2\cdot 2}=\frac{1}{4}$

דוגמה 4: חשב את החזקה $(-1{)}^3$ $(-1{)}^3=(-1)\times (-1)\times (-1)=-1$

חוק החילוף אינו מתקיים בחזקה

החזקה לא מקיימת את חוק החילוף (יש מקרים יחידים שהיא כן).

למשל: $10^3=10\cdot 10\cdot 10=1000\ne 3^{10}=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3\cdot 3=59,049$

פעולות על חזקות

כאמור עבור $a^b$ הבסיס הוא $a$ ואילו המעריך הוא $b$ . יש לבטא "$a$ בחזקת $b$".

פעולת החשבון המבוקשת	החוק	הסבר	דוגמא
כפל חזקות עם אותו בסיס	$a^b\cdot a^c=a^{b+c}$	נבדוק כיצד לכפול חזקות עם אותו בסיס: $$a^b\cdot a^c=\stackrel{b+c\text{ times}}{\overbrace{\underset{b\text{ times}}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}\cdot \underset{c\text{ times}}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}}}=a^{b+c}$$ אם נסתכל על הנוסחה הפוך נבין כיצד לפרש סכום במכנה. $$a^{b+c}=\stackrel{b+c\text{ times}}{\overbrace{\underset{b\text{ times}}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}\cdot \underset{c\text{ times}}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}}}=a^b\cdot a^c$$ על כן כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא לחיבור/חיסור המעריכים.	$\begin{array}{cc}{a}^2\cdot a^3& =(a\cdot a)\cdot (a\cdot a\cdot a)\\ & =a\cdot a\cdot a\cdot a\cdot a=a^5=a^{2+3}\end{array}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס	$\frac{a^b}{a^c}=a^{b-c}$	נבדוק כיצד לחלק חזקות עם אותו בסיס: $\frac{a^b}{a^c}$ . נבחין בשלושה מקרים. מקרה א': $b>c$ . $$\begin{array}{c}\frac{a^b}{a^c}=\frac{\stackrel{b\text{ times}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}}{\underset{c\text{ times}}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}}\\ c+(b-c)=b\\ \frac{\stackrel{c\text{ times}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}\stackrel{b-c\text{ times}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}}{\underset{c\text{ times}}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}}\end{array}$$ נצמצם מספר שווה של $a$ במונה ובמכנה. $$\begin{array}{cc}\frac{\stackrel{c\text{ times}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}\stackrel{b-c\text{ times}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}}{\underset{c\text{ times}}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}}& =\stackrel{b-c\text{ times}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}\\ & =a^{b-c}\end{array}$$ ניתן להשתמש בנוסחה גם בכיוון ההפוך: $$a^{b-c}=\frac{a^b}{a^c}$$	$\frac{a^3}{a^2}=\frac{a\cdot a\cdot a}{a\cdot a}=a=a^1=a^{3-2}$
מעריך 0	$a^0=1$ כאשר $a\ne 0$	נבדוק מה קורה כאשר המעריך שווה ל-0. לצורך כך נשתמש בנוסחה לחילוק חזקות עם אותו בסיס. נשתמש בעובדה $b-b=0$ $$a^0=a^{b-b}=\frac{a^b}{a^b}=1$$ לסיכום: כל מספר בחזקת 0 שווה ל-1. $a^0=1$ יוצא מן הכלל: $0^0$ . הביטוי 0 בחזקת 0 אינו מוגדר..
חזקות עם מעריך שלילי	$$a^{-b}=\frac{1}{a^b}$$	נבדוק מה קורה כאשר המעריך שלילי: $$a^{-b}=a^{0-b}=\frac{a^0}{a^b}=\frac{1}{a^b}$$ הערה: 0 בחזקת מספר שלילי שוב יתן חלוקה באפס ולכן אינו מוגדר: $0^{-a}=\frac{1}{0^a}=\frac{1}{0}$	$2^{-2}=\frac{1}{2^2}=\frac{1}{4}$
מעריך 1	$$a^1=a$$	כל מספר בחזקת 1 שווה לעצמו זאת בגלל הגדרת החזקה.
חזקה של חזקה	$$(a^b{)}^c=a^{b\cdot c}$$	נשתמש בחוקי חזקות שכבר למדנו, לכפל של שתי חזקות עם אותו בסיס. $$(a^b{)}^c=\underset{c\text{ times}}{\underbrace{a^b\times \cdots \times a^b}}=a^{\stackrel{c\text{ times}}{\overbrace{b+\cdots +b}}}=a^{b\cdot c}=(a^c{)}^b$$	$\begin{array}{cc}(5^2{)}^3& =(5^2)\cdot (5^2)\cdot (5^2)=(5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5)\cdot (5\cdot 5)\\ & =5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5\cdot 5=5^6=5^{2\cdot 3}\end{array}$
כפל חזקות עם אותו מעריך	$a^c\cdot b^c=(a\cdot b{)}^c$	כאשר כופלים חזקות עם אותו מעריך, אפשר להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים: $$a^c\cdot b^c=\underset{c\text{ times}}{\underbrace{a\times \cdots \times a}}\cdot \underset{c\text{ times}}{\underbrace{b\times \cdots \times b}}$$ על־פי חוק החילוף, נסדר אחרת את המשוואה: $$\underset{c\text{ times}}{\underbrace{\underbrace{a\cdot b}\times \cdots \times \underbrace{a\cdot b}}}=$$ על־פי חוק הקיבוץ נוסיף סוגריים: $$\underset{c\text{ times}}{\underbrace{(a\cdot b)\times \cdots \times (a\cdot b)}}=$$ על־פי הגדרת החזקה: $$=(a\cdot b{)}^c$$	$((-2)\cdot 3{)}^2=(-2{)}^2\cdot 3^2$
חילוק חזקות עם אותו מעריך	$\frac{a^c}{b^c}={\left(\frac{a}{b}\right)}^c$	כאשר מחלקים חזקות עם אותו מעריך, באותו אופן ניתן שוב להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים: $$\frac{a^c}{b^c}=\frac{\stackrel{c\text{ times}}{\overbrace{a\times \cdots \times a}}}{\underset{c\text{ times}}{\underbrace{b\times \cdots \times b}}}$$ נסדר אחרת את השבר: $$\underset{c\text{ times}}{\underbrace{\frac{a}{b}\times \cdots \times \frac{a}{b}}}=$$ על־פי הגדרת החזקה: $$={\left(\frac{a}{b}\right)}^c$$	${\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}\cdot \frac{2}{3}=\frac{2\cdot 2\cdot 2}{3\cdot 3\cdot 3}=\frac{2^3}{3^3}$
חזקה של 1	$$1^a=1$$	1 בחזקת כל מספר שווה ל־1. זאת בגלל שלא משנה כמה נכפול אותו בעצמו, הוא ישאר 1 זאת בגלל הגדרת החזקה.
חזקה של אפס	$0^a=0$ כאשר $a>0$	0 הוא מספר מיוחד בחזקות, והוא אינו מוגדר לכל מעריך. עם מעריך שהוא מספר טבעי ברור לנו שלא משנה כמה פעמים נכפול 0 בעצמו, נקבל 0.

סיכום

החוק	דוגמה
$a^m\cdot a^n=a^{m+n}$	$10^3\cdot 10^4=10^{3+4}=10^7=10,000,000$
$(a\ne 0)\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$	$\frac{10^5}{10^3}=10^{5-3}=10^2=100$
$(a^m{)}^n=a^{mn}$	$(10^2{)}^3=10^{2\cdot 3}=10^6=1,000,000$
$(a\cdot b{)}^n=a^n\cdot b^n$	$(2\cdot 5{)}^3=2^3\cdot 5^3=8\cdot 125=1,000$
$(b\ne 0){\left(\frac{a}{b}\right)}^n=\frac{a^n}{b^n}$	${\left(\frac{6}{3}\right)}^2=\frac{6^2}{3^2}=\frac{36}{9}=4$
$a^0=1$	$10^0=1$
$a^{-b}=\frac{1}{a^b}$	$2^{-1}=\frac{1}{2}$

הפרק הקודם: חוקי פעולות החשבון

חוקי חשבון חזקות תרגילים

הפרק הבא: שורשים