מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/חוקי החשבון/חוקי חשבון חזקות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
דף זה מועמד לאיחוד
דף זה דן בנושא של הדף [[: חשבון/חזקה]] וככל הנראה מוסיף עליו מידע. על כן כנראה שיש לאחד את שני הדפים. (דיון)



חזקות הן מעין הכללה של פעולת הכפל, ומאפשרות לכתוב ביטויים מסובכים בצורה פשוטה.

סימון חזקות[עריכה]

חזקה מסמנים כאינדקס עליון למספר (או משתנה): 3 בחזקת 5 כותבים כך: .

ל-3 נקרא בסיס החזקה. ל-5 נקרא מעריך החזקה.

  • כאשר שהמעריך נמצא בחזקת שתיים נהוג לומר בריבוע במקום בחזקת שתיים: דהיינו c בריבוע.
  • כשהמעריך הוא גדול משתים יש לבטא בשלישית עבור 3, ברביעית עבור 4 וכו': יש לבטא 3 בחמישית.
  • דרך נוספת לסמן חזקות היא באמצעות סימן הגג: ^. למשל 5^3 זה 3 בחמישית, a^b זה a בחזקת b וכו'.

משמעות החזקה עם מעריך טבעי[עריכה]

אם המעריך הוא מספר טבעי אזי החזקה היא הבסיס כפול עצמו כמספר הפעמים שכתוב במעריך. למשל, כדי לחשב את החזקה , עלינו לכפול את 3 בעצמו 4 פעמים על מנת לקבל את הערך של החזקה. כלומר:

באופן כללי ניתן להציג חזקה עם בסיס ומעריך שהוא מספר טבעי בצורה הבאה:



דוגמה 1: חשב את החזקה



דוגמה 2: חשב את החזקה



דוגמה 3: חשב את החזקה



דוגמה 4: חשב את החזקה


חוק החילוף אינו מתקיים בחזקה[עריכה]

החזקה לא מקיימת את חוק החילוף (יש מקרים יחידים שהיא כן).

למשל:

פעולות על חזקות[עריכה]

כאמור עבור הבסיס הוא ואילו המעריך הוא . יש לבטא " בחזקת ".

פעולת החשבון המבוקשת החוק הסבר דוגמא
כפל חזקות עם אותו בסיס

נבדוק כיצד לכפול חזקות עם אותו בסיס:

אם נסתכל על הנוסחה הפוך נבין כיצד לפרש סכום במכנה.

על כן כאשר החזקות הן בעלות אותו הבסיס, כפל של שתי חזקות מביא לחיבור/חיסור המעריכים.

חילוק חזקות עם אותו בסיס נבדוק כיצד לחלק חזקות עם אותו בסיס: .

נבחין בשלושה מקרים.

מקרה א': .

נצמצם מספר שווה של במונה ובמכנה.

ניתן להשתמש בנוסחה גם בכיוון ההפוך:

מעריך 0 כאשר נבדוק מה קורה כאשר המעריך שווה ל-0. לצורך כך נשתמש בנוסחה לחילוק חזקות עם אותו בסיס.

נשתמש בעובדה

לסיכום: כל מספר בחזקת 0 שווה ל-1.

  • יוצא מן הכלל: . הביטוי 0 בחזקת 0 אינו מוגדר..
חזקות עם מעריך שלילי
נבדוק מה קורה כאשר המעריך שלילי:
  • הערה: 0 בחזקת מספר שלילי שוב יתן חלוקה באפס ולכן אינו מוגדר:
מעריך 1
כל מספר בחזקת 1 שווה לעצמו זאת בגלל הגדרת החזקה.
חזקה של חזקה
נשתמש בחוקי חזקות שכבר למדנו, לכפל של שתי חזקות עם אותו בסיס.
כפל חזקות עם אותו מעריך כאשר כופלים חזקות עם אותו מעריך, אפשר להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים:

על־פי חוק החילוף, נסדר אחרת את המשוואה:

על־פי חוק הקיבוץ נוסיף סוגריים:

על־פי הגדרת החזקה:

חילוק חזקות עם אותו מעריך כאשר מחלקים חזקות עם אותו מעריך, באותו אופן ניתן שוב להוציא את המעריך מחוץ לסוגריים:

נסדר אחרת את השבר:

על־פי הגדרת החזקה:

חזקה של 1
1 בחזקת כל מספר שווה ל־1. זאת בגלל שלא משנה כמה נכפול אותו בעצמו,
הוא ישאר 1 זאת בגלל הגדרת החזקה.
חזקה של אפס כאשר 0 הוא מספר מיוחד בחזקות, והוא אינו מוגדר לכל מעריך. עם מעריך שהוא מספר טבעי ברור לנו שלא משנה כמה פעמים נכפול 0 בעצמו, נקבל 0.

סיכום[עריכה]

החוק דוגמה


הפרק הקודם:
חוקי פעולות החשבון
חוקי חשבון חזקות
תרגילים
הפרק הבא:
שורשים