טוען את הטאבים...
1
תרגיל
(תוכן)
נושא
(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור
(קישור למסמך המקורי)
תרגיל
(תוכן)
נושא
(ידע נדרש לפתירת התרגיל)
מקור
(קישור למסמך המקורי)
90%
#AAAAAA
center
בכדי למצוא נקודות עליה וירידה נבדוק תחילה את תחום ההגדרה. מאחר ששורש הפונקציה חייב להיות חיובי, הפונקציה מוגדרת לכל
x
{\displaystyle x}
נגזור את הפונקציה
g
(
x
)
=
b
x
x
2
+
1
{\displaystyle g(x)={\frac {bx}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
g
′
(
x
)
=
h
′
∗
l
−
h
∗
l
′
l
2
{\displaystyle g'(x)={\frac {h'*l-h*l'}{l^{2}}}}
h
′
(
x
)
=
b
{\displaystyle h'(x)=b}
l
′
=
2
x
2
x
2
+
1
=
x
x
2
+
1
{\displaystyle l'={\frac {2x}{2{\sqrt {x^{2}+1}}}}={\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
נציב
b
x
2
+
1
−
b
x
∗
x
x
2
+
1
x
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {b{\sqrt {x^{2}+1}}-bx*{\frac {x}{\sqrt {x^{2}+1x}}}}{x^{2}+1}}}
נפטר מהמכנה העליון
x
2
+
1
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+1}}}
b
(
x
2
+
1
)
−
b
x
2
x
2
+
1
x
x
2
+
1
{\displaystyle {\frac {\frac {b(x^{2}+1)-bx^{2}}{\sqrt {x^{2}+1x}}}{x^{2}+1}}}
נפתח סוגרים ובכדי להקל על העין נעזר בסימן חילוק פשוט :
b
x
2
+
b
−
b
x
2
x
2
+
1
x
:
(
x
2
+
1
)
{\displaystyle {\frac {bx^{2}+b-bx^{2}}{\sqrt {x^{2}+1x}}}:(x^{2}+1)}
נפטר מהמכנה וצמצם :
b
(
x
2
+
1
)
∗
x
2
+
1
x
{\displaystyle {\frac {b}{(x^{2}+1)*{\sqrt {x^{2}+1x}}}}}
מאחר ש-
b
>
0
{\displaystyle b>0}
x
{\displaystyle x}
האיבר
x
2
+
1
{\displaystyle x^{2}+1}
התוצאה של שורש גם היא חיובית. במילים אחרות, כל מספר שנציב בנגזרת תמיד יביא תוצאה חיובית ולכן הפונקציה תמיד עולה.
אספימטוטות אנכיות: הראינו כי הפונקציה מוגדרת לכל
x
{\displaystyle x}
אסימפטוטות אופקיות: בכדי למצוא לפונקציה עם שורש אסימפטוטה אופקית, חייבים להעזר בדרך הארוכה למציאת אסימפטוטות.
האסימפטוטה מוגדרת לכל
x
{\displaystyle x}
l
i
m
x
→
∞
{\displaystyle lim_{x\rightarrow \infty }}
נחלק בנעלם עם החזקה הגבוה ביותר (
x
{\displaystyle x}
g
(
x
)
=
b
x
x
x
2
+
1
x
{\displaystyle g(x)={\frac {\frac {bx}{x}}{\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}}}
נכניס את הנעלם לשורש
g
(
x
)
=
b
x
2
+
1
x
2
{\displaystyle g(x)={\frac {b}{\sqrt {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}}}}
נצמצם :
g
(
x
)
=
b
1
+
1
x
2
{\displaystyle g(x)={\frac {b}{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}
נציב
l
i
m
x
→
∞
{\displaystyle lim_{x\rightarrow \infty }}
g
(
x
)
=
b
1
+
1
0
=
b
1
=
b
{\displaystyle g(x)={\frac {b}{\sqrt {1+{\frac {1}{0}}}}}={\frac {b}{1}}=b}
נבדוק לכלל הערכים את האסימפטוטה כאשר
l
i
m
x
→
−
∞
{\displaystyle lim_{x\rightarrow -\infty }}
נחלק בנעלם עם החזקה הגבוה ביותר (
x
{\displaystyle x}
g
(
x
)
=
b
x
x
x
2
+
1
x
{\displaystyle g(x)={\frac {\frac {bx}{x}}{\frac {\sqrt {x^{2}+1}}{x}}}}
נכניס את הנעלם לשורש ולא נשכח להוסיף מינוס לפני :
g
(
x
)
=
b
−
x
2
+
1
x
2
{\displaystyle g(x)={\frac {b}{-{\sqrt {\frac {x^{2}+1}{x^{2}}}}}}}
נצמצם :
g
(
x
)
=
b
−
1
+
1
x
2
{\displaystyle g(x)={\frac {b}{-{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}}
נציב
l
i
m
x
→
∞
{\displaystyle lim_{x\rightarrow \infty }}
g
(
x
)
=
b
−
1
+
1
0
=
b
−
1
=
−
b
{\displaystyle g(x)={\frac {b}{-{\sqrt {1+{\frac {1}{0}}}}}}={\frac {b}{-1}}=-b}
האסימפטוטה עבור
l
i
m
x
→
∞
{\displaystyle lim_{x\rightarrow \infty }}
b
{\displaystyle b}
האסימפטוטה עבור
l
i
m
x
→
−
∞
{\displaystyle lim_{x\rightarrow -\infty }}
−
b
{\displaystyle -b}
הפונקציה
a
>
0
,
f
(
x
)
=
a
x
2
{\displaystyle a>0,f(x)=ax^{2}}
פרבולה עם מקדם
a
{\displaystyle a}
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
f
(
x
)
=
a
∗
0
2
=
0
{\displaystyle f(x)=a*0^{2}=0}
0
=
a
x
2
{\displaystyle 0=ax^{2}}
הוכחנו כי הפונקציה
g
(
x
)
{\displaystyle g(x)}
x
{\displaystyle x}
b
,
−
b
{\displaystyle b,-b}
נמצא את נקודות החיתוך שלה עם הצירים באמצעות הצבה
x
=
0
{\displaystyle x=0}
y
=
0
{\displaystyle y=0}
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
b
∗
0
0
2
+
1
=
0
{\displaystyle {\frac {b*0}{\sqrt {0^{2}+1}}}=0}
b
x
x
2
+
1
=
0
{\displaystyle {\frac {bx}{\sqrt {x^{2}+1}}}=0}
מאחר שאנו עובדים עם פונקציה שעולה, פרבולה מעל ציר ה-
x
{\displaystyle x}
נמצא את ערכי ה-
y
{\displaystyle y}
x
=
1
{\displaystyle x=1}
(
1
,
a
2
)
f
(
1
)
=
a
∗
1
2
=
a
2
{\displaystyle (1,a^{2})f(1)=a*1^{2}=a^{2}}
(
1
,
b
2
)
g
(
1
)
=
1
∗
b
1
2
+
1
=
b
2
{\displaystyle (1,{\frac {b}{\sqrt {2}}})g(1)={\frac {1*b}{\sqrt {1^{2}+1}}}={\frac {b}{\sqrt {2}}}}
מאחר ומדובר על אותה נקודה נשווה בין ערכי ה-
y
{\displaystyle y}
b
2
=
a
2
{\displaystyle {\frac {b}{\sqrt {2}}}=a^{2}}
b
=
a
2
{\displaystyle b=a{\sqrt {2}}}
5
3
−
2
{\displaystyle {\frac {5}{3}}-{\sqrt {2}}}
השטח כלוא בין שתי נקודות החיתוך כלומר בין
(
0
,
0
)
{\displaystyle (0,0)}
(
1
,
a
2
)
{\displaystyle (1,a^{2})}
אנו רוצים לגלות שטח הכלוא בין שתי פונקציות ואנו נגלה אותו באמצעות:
[
b
2
∗
1
x
2
+
1
∗
2
x
−
a
x
2
]
=
b
2
∗
2
x
2
+
1
−
a
x
3
3
{\displaystyle [{\frac {b}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}*2x-ax^{2}]={\frac {b}{2}}*2{\sqrt {x^{2}+1}}-{\frac {ax^{3}}{3}}}
נציב את התחומים ונקבל
b
2
−
a
3
−
(
b
−
0
)
=
b
2
−
b
−
a
3
{\displaystyle b{\sqrt {2}}-{\frac {a}{3}}-(b-0)=b{\sqrt {2}}-b-{\frac {a}{3}}}
נשווה לשטח
b
2
−
b
−
a
3
=
5
3
−
2
{\displaystyle b{\sqrt {2}}-b-{\frac {a}{3}}={\frac {5}{3}}-{\sqrt {2}}}
נציב את המשוואה הראשונה (
b
=
a
2
{\displaystyle b=a{\sqrt {2}}}
a
2
∗
2
−
a
2
−
a
3
=
5
3
−
2
{\displaystyle a{\sqrt {2}}*{\sqrt {2}}-a{\sqrt {2}}-{\frac {a}{3}}={\frac {5}{3}}-{\sqrt {2}}}
נפטר מהמכנה :
6
a
−
3
a
2
−
a
=
5
−
3
2
{\displaystyle 6a-3a{\sqrt {2}}-a=5-3{\sqrt {2}}}
a
=
5
−
3
2
5
−
3
2
=
1
{\displaystyle a={\frac {5-3{\sqrt {2}}}{5-3{\sqrt {2}}}}=1}
נמצא את
b
{\displaystyle b}
a
=
1
{\displaystyle a=1}
b
=
a
2
{\displaystyle b=a{\sqrt {2}}}
b
=
2
{\displaystyle b={\sqrt {2}}}
![{\displaystyle \int \limits _{1}^{0}[{\frac {bx}{\sqrt {x^{2}+1}}}-ax^{2}]dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a6c7565dc38595da36053d36f5c53bc3c837cb6)
![{\displaystyle [{\frac {b}{2}}*{\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}*2x-ax^{2}]={\frac {b}{2}}*2{\sqrt {x^{2}+1}}-{\frac {ax^{3}}{3}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd251ce64227b1457c28372382e5c0ccf814ab4e)
