מתמטיקה תיכונית/טריגונומטריה/שטחים במשולש

שטח משולש

• 
  $s=\frac{a\cdot h}{2}$
• 
  שימו לב, במשולש ישר-זוית, הניצבים אנכים זה לזה ולכן ניתן לחשב את שטח המשולש באמצעות מחצית מכפלת הנציבים, כלומר $s=\frac{a\cdot b}{2}$ .

שטח משולש באמצעות שתי צלעות וזווית בניהן

$S=\frac{ab}{2}\cdot \sin (\gamma )$

• $S=\frac{ab\cdot \sin (\gamma )}{2}$ - הוכחה
• [או $S=\frac{bc\cdot \sin (\alpha )}{2}$ ]
• [או $S=\frac{ac\cdot \sin (\beta )}{2}$ ]

תרגיל 1: גודלה של צלע ה-AC הוא 10 ס"מ. גודלה של צלע ה-BC הוא 7 ס"מ. גודלה של הזווית ACB הוא 25 מעלות. מה שטח המשולש?
נציב בנוסחה: $S=\frac{10\ast 7}{2}\ast \sin 25$ נצמצם $S=35\ast 0.4226$ נקבל כי השטח שווה 14.8

מציאת זווית באמצעות הנוסחה

כאשר נעזרים בנוסחה בכדי למצוא זווית יש לשים לב כי עבור כל תוצאה לערכה של הזווית, קיימות שתי תוצאות אפשרויות וזאת לפי הזהות $\sin (180-\alpha )=\sin \alpha$.

תרגיל 2: שטח משולש שווה 60 סמ"ר. גודלה של צלע AB הוא 15 ס"מ.וכך גודלה של צלע AC הוא 9 ס"מ. מה גודל הזווית הכלוא בין שתי הצלעות? רשום את שני הערכים האפשריים.
נציב בנוסחה: $60=\frac{15\ast 9}{2}\ast \sin \gamma$ $60=67.5\ast \sin \gamma$ $0.888=\sin \gamma$ נחלץ את הזווית גמא באמצעות ${\sin }^{-1}$ ונקבל כי התשובה הראשונה היא $\sin \gamma =62.62^{\circ }$ (אם הזווית חדה). לפי הזהות $\sin (180-\alpha )=\sin \alpha$, הערך השני הוא $180-62.62=117.38^{\circ }$ (אם הזווית קהה).

שטח משולש באמצעות צלע ושלוש זווית

על פי משפט הסינוסים, $S=\frac{a^2\ast \sin \beta \ast \sin \gamma }{2\sin \alpha }$ - הוכחה

תרגיל 3: גודלה של צלע AB הוא 8 ס"מ. צלע AB כלואה בידי שתי זוויות שגודלן $30^{\circ }$ ו-$65^{\circ }$. חשב את שטח המשולש
נציב בנוסחה: $S=\frac{a^2\ast \sin \beta \ast \sin \gamma }{2\sin \alpha }$ $S=\frac{8^2\ast \sin 30^{\circ }\ast \sin 65^{\circ }}{2\sin (180-30-65)}$ $S=\frac{8^2\ast \sin 30^{\circ }\ast \sin 65^{\circ }}{2\sin (85)}$ $S=\frac{64\ast 0.5\ast 0.91}{2\ast 0.996}$ $S=14.63$