בפרק הקודם הראינו כיצד פונקציות מערכיות מהצורה
y
=
a
x
{\displaystyle y=a^{x}}
y
{\displaystyle y}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
a
0
=
1
{\displaystyle a^{0}=1}
כאשר מעבירים משיק לפונקציה
y
=
2
x
{\displaystyle y=2^{x}}
y
{\displaystyle y}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
שני ישרים נחתכים , כלומר בין ציר
x
{\displaystyle x}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
y
′
(
0
)
=
2
x
ln
(
2
)
=
2
0
ln
(
2
)
=
ln
(
2
)
{\displaystyle y'(0)=2^{x}\ln(2)=2^{0}\ln(2)=\ln(2)}
tan
(
α
)
=
|
ln
(
2
)
−
0
|
1
+
ln
(
2
)
=
ln
(
2
)
{\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {|\ln(2)-0|}{1+\ln(2)}}=\ln(2)}
34.727
∘
=
35
∘
{\displaystyle 34.727^{\circ }=~35^{\circ }}
כאשר מעבירים משיק לפונקציה
y
=
3
x
{\displaystyle y=3^{x}}
y
{\displaystyle y}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
שני ישרים נחתכים , כלומר בין ציר
x
{\displaystyle x}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
y
′
(
0
)
=
3
x
ln
(
3
)
=
3
0
ln
(
3
)
=
ln
(
3
)
{\displaystyle y'(0)=3^{x}\ln(3)=3^{0}\ln(3)=\ln(3)}
tan
(
α
)
=
|
ln
(
3
)
−
0
|
1
+
0
ln
(
3
)
=
ln
(
3
)
{\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {|\ln(3)-0|}{1+0\ln(3)}}=\ln(3)}
47.69
∘
=
48
∘
{\displaystyle 47.69^{\circ }=~48^{\circ }}
במילים אחרות, בין הפונקציה
2
x
{\displaystyle 2^{x}}
3
x
{\displaystyle 3^{x}}
x
{\displaystyle x}
45
∘
{\displaystyle 45^{\circ }}
2.718
…
{\displaystyle 2.718\ldots }
e
{\displaystyle e}
הפעם נציג כיצד בפועל גילו את ערך הנקודה. הרי הנתונים שהיו להם הם משיק העובר דרך גרף הפונקציה
a
x
{\displaystyle a^{x}}
(
0
,
1
)
{\displaystyle (0,1)}
45
∘
{\displaystyle 45^{\circ }}
נגזור את הפונקציה ונקבל:
(
e
x
)
′
=
lim
h
→
0
e
x
+
h
−
e
x
h
=
e
x
⋅
lim
h
→
0
e
h
−
1
h
{\displaystyle \left(e^{x}\right)'=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{x+h}-e^{x}}{h}}=e^{x}\cdot \lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}}
כעת נגזור את הפונקציה בנקודה x=0 ונקבל:
lim
h
→
0
e
0
+
h
−
e
0
h
=
lim
h
→
0
e
h
−
1
h
{\displaystyle \lim _{h\to 0}{\frac {e^{0+h}-e^{0}}{h}}=\lim _{h\to 0}{\frac {e^{h}-1}{h}}}
כלומר הנגזרת של הפונקציה שווה לעצמה כפול הנגזרת בנקודה 0, שהיא 1.
נגזור פעמיים את הפונקציה:
(
e
x
)
″
=
(
1
⋅
e
x
)
′
=
e
x
{\displaystyle \left(e^{x}\right)''=\left(1\cdot e^{x}\right)'=e^{x}}
e
x
>
0
{\displaystyle e^{x}>0}
נעביר משיק בנקודה (0,1). ידוע לנו ששיפועו 1 והמספר החופשי שלו (החיתוך עם ציר הy) גם הוא 1. כלומר משוואת המשיק היא:
y
=
x
+
1
{\displaystyle y=x+1}
מכיוון שהפונקציה קעורה כלפי מעלה, הרי המשיק נמצא מתחת לפונקציה. נקבל:
x
+
1
<
e
x
{\displaystyle x+1<e^{x}}
x
=
1
n
{\displaystyle x={\frac {1}{n}}}
x
=
−
1
n
+
1
{\displaystyle x=-{\frac {1}{n+1}}}
e
1
n
>
1
+
1
n
⇒
e
>
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle e^{\frac {1}{n}}>1+{\frac {1}{n}}\Rightarrow e>\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
e
−
1
n
+
1
>
1
−
1
n
+
1
=
n
n
+
1
⇒
e
<
(
n
n
+
1
)
n
+
1
=
(
1
+
1
n
)
n
+
1
⇒
e
<
(
1
+
1
n
)
n
+
1
{\displaystyle e^{-{\frac {1}{n+1}}}>1-{\frac {1}{n+1}}={\frac {n}{n+1}}\Rightarrow e<\left({\frac {n}{n+1}}\right)^{n+1}=\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\Rightarrow e<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}}
משני האי-שוויונים נקבל:
(
1
+
1
n
)
n
<
e
<
(
1
+
1
n
)
n
+
1
⇒
e
=
lim
n
→
∞
(
1
+
1
n
)
n
{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}<e<\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n+1}\Rightarrow e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
אם נציב
n
=
1
,
000
{\displaystyle n=1,000}
1.001
1000
<
e
<
1
,
001
1001
⇒
2.7169239322...
<
e
<
2.7196408568...
⇒
e
≈
2.71
{\displaystyle 1.001^{1000}<e<1,001^{1001}\Rightarrow 2.7169239322...<e<2.7196408568...\Rightarrow e\approx 2.71}
