מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/כללי גזירת פונקציות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

לכל פונקציה פשוטה יש נגזרת משל עצמה כפי שהוצגו בפרק רשימת נגזרות. הבעיה היא שעל פי רוב איננו פוגשים בפונקציה פשוטה (לדוגמה,) אלא במספר פונקציות אשר מחוברות באמצעות אחת מפעולות החשבון (סכום, מכפלה, מכנה, הפרש) או הצבה [פונקציה "מורכבת"] (לדוגמה, ).

כללי נגזרות[עריכה]

  • סכום של פונקציות: בהינתן שתי פונקציות, ו- , הנגזרת של סכומן היא:
    .
    כלומר, נגזרת הסכום היא סכום הנגזרות. באופן דומה, הנגזרת של הפרש של שתי פונקציות היא הפרש הנגזרות של הפונקציות: .
  • הכפלה בקבוע: בהינתן פונקציה וקבוע (מספר שלא תלוי ב- ), הנגזרת של מכפלת הקבוע בפונקציה היא:
    כלומר, ניתן לגזור את הפונקציה ללא הקבוע, ואז להכפיל חזרה בקבוע.

כללי הגזירה החשובים:

  • נגזרת של מכפלה: בהינתן שתי פונקציות ו- , הנגזרת של מכפלתן היא:
    כלומר, יש לגזור את הפונקציה הראשונה, ולהכפיל בשנייה, ולהוסיף לזה את הפונקציה הראשונה מוכפלת בנגזרת הפונקצייה השנייה.
  • נגזרת של מנה: בהינתן שתי פונקציות ו- , הנגזרת של המנה שלהן היא:
  • פונקציה מורכבת וכלל השרשרת: כשאומרים פונקציה מורכבת בדרך כלל מתכוונים לפונקציה בה יש שתי פונקציות, האחת בתוך השנייה. דוגמה לקחו את ערך ה- בו מעוניינים והציבו אותו בפונקציה הראשונה, ואת התוצאה שקיבלנו מציבים בפונקציה השנייה. אם נסמן את הפונקציה הראשונה ואת השנייה נקבל שהפונקציה הכוללת היא: .
    הנגזרת לפונקציה הינה: אך קיימים פונקציות שונות ומשנות ולכן נעזרים בכלל השרשרת.
  • מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציות טריגונומטריות מורכבות (דוגמאות)