לדלג לתוכן

מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/פונקציה מורכבת

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי


פרק זה לוקה בחסר. אתם מוזמנים לתרום לוויקיספר ולהשלים אותו. ראו פירוט בדף השיחה.



הסבר[עריכה]

פונקציה מורכבת היא פונקציה מורכבת מפונקציה פנימית ופונקציה חיצונית. הפונקציה הפנימית מוצבת בפונקציה החיצונית. למשל, נתונות שתי פונקציות:

  • פונקציה ראשונה:
  • פונקציה שנייה:

הפונקציה המורכבת תהיה הפונקציה שתיווצר מהצבת אחת הפונקציה בשנייה, במקרה שלנו, ניתן להציב את בפונקציה . כלומר:

  • נציב את u:

קבלנו פונקציה מורכבת משתי פונקציות.

הגדרה[עריכה]

פונקציה מורכבת, מורכבת משתי פונקציות. באופן רשמי רושמים את הפונקציה: ואת הנגזרת שלה: .

תבנית זו מבלבלת המון תלמידים. לרוב הם גוזרים פונקציה מורכבת על-פי ידע נצבר ולא בשימוש בנוסחא. בכל פעם שתוצב לפנינו פונקציה מורכבת, נסמן בשתי אותיות, את שתי הפונקציות שבה, בכדי להקל על הגזירה (ככל שתתרגלו יותר, כך, תוכלו לזהות בקלות רבה יותר)

כלל הגזירה[עריכה]

נוסחת גזירה:

דוגמא

נבנה פונקציה מורכבת באמצעות שתי הפונקציות הבאות, פונקציה ופונקציה . נקבל את הפונקציה המורכבת:

בכדי למצוא ביתר קלות את הנגזרת, קל יהיה לנו לבצע גזירה על פונקציית ופונקציית .

  • - נגזרת:
  • - נגזרת (לאחר הצבת u):
    • הנגזרת של הפונקציה שהתקבלה:

פונקציה טריגונומטרית היא מורכבת[עריכה]

פונקציה טריגונומטרית היא מורכבת לכן הנגזרת של היא

  • נגזרת היא
  • נגזרת היא

פתרון:

תרגול[עריכה]

הוכחה[עריכה]