מתמטיקה תיכונית/חשבון דיפרנציאלי/הקשר בין גרף פונקציה וגרף נגזרת

כדאי לדעת: כדי להבין נושא זה, יש לדעת את נושא גרף – תחום חיוביות ושליליות, המופיע בפרק הצגה גרפית של פונקציה - תחום חיוביות שליליות. רצוי גם לדעת את נושא עליה וירידה

הקדמה

נושא זה דן בקשר שבין גרף של פונקציה לגרף של הנגזרת שלה או של הנגזרת השניה שלה. עד כה נתנו לנו שאלות שבהן קיבלנו נתונים. בשאלות מסוג "התנהגות פונקציה", נקבל גרף שממנו עלינו להוציא נתונים שבעזרתם נבנה גרף חדש. כאשר מקבלים גרף יש ליצור טבלה. הטבלה תראה כך:

$x$	הצבת $x$ של הנקודות הנתונות
$y$	פונקציה עולה/יורדת על-פי ההסברים שיופיעו בהמשך
$y'$ – אם מדובר על הקשר שלו לפונקציה	שיבוץ נתונים
$y''$ – אם מדובר על הקשר שלו לפונקציה	שיבוץ נתונים

קשר בין פונקציה לנגזרת הראשונה שלה

ניתן גרף של נגזרת או פונקציה. בדרך כלל, גרף של נגזרת. הכללים:

1. כשהנגזרת שלילית (הנקודה נמצאת מתחת ציר $x$) – הפונקציה יורדת.
2. בנקודות החיתוך של הנגזרת עם ציר $x$, כשהנגזרת שווה אפס – נקודת קיצון או נקודת פיתול; תלוי בשיפוע: עלייה לעלייה או ירידה לירידה – פיתול (יראה בגרף הנגזרת כנקודת קיצון שלה), ירידה לעליה או עליה לירידה – נקודת קיצון (של הפונקציה).
3. כשנגזרת חיובית (הנקודה נמצאת מעל ציר $x$) – פונקציה עולה.

הטבלה תיראה כך:

$x$	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$
$y'$	+ (הנקודה מעל ציר $x$	0	- (הנקודה מתחת לציר $x$)
$y$	פונקציה עולה	נקודת קיצון או פיתול	פונקציה יורדת

קשר בין פונקציה לנגזרתה השניה

1. כשהנגזרת השנייה שלילית (הנקודה מתחת ציר $x$) – הפונקציה תהיה קמורה כלפי מטה (בוכה).
2. כשהנגזרת השנייה שווה אפס – נקודת קיצון (מעבר בין עליה לירידה או ירידה לעליה) או פיתול (נגזרת ראשונה ושניה שוות ל-0 או מעבר מעליה לעליה או מירידה לירידה).
3. כשהנגזרת חיובית (נקודת נמצאת מעל ציר $x$) – הפונקציה קעורה כלפי מעלה (מחייכת).

אם מדברים על אותה פונקציה, הטבלה תיראה כך:

$x$	$x_{1}$	$x_{2}$	$x_{3}$
$y''$	+ (הנקודה מעל ציר $x$)	0	- (הנקודה מתחת ציר $x$)
$y$	פונקציה קעורה כלפי מעלה	נקודת קיצון	פונקציה קעורה כלפי מטה

קשר בין נגזרת ראשונה לנגזרת שניה

נגזרת שניה היא נגזרת ראשונה של נגזרת הפונקציה. לכן, חלים עליה אותם כללים של נגזרת:

1. כשהנגזרת (השניה) שלילית – הפונקציה (נגזרת ראשונה) יורדת.
2. כשהנגזרת (השניה) שווה 0 – זו נקודת קיצון או נקודת פיתול (עבור נגזרת ראשונה!); תלוי בשיפוע (עליה לעליה או ירידה לירידה – פיתול, ירידה לעליה או עליה לירידה – נקודת קיצון).
3. כשהנגזרת (השניה) חיובית – הפונקציה (נגזרת ראשונה) עולה.

כדאי לדעת: נקודת קיצון של נגזרת ראשונה מתבטאת במעבר מירידה לעליה או מעליה לירידה. אין די נתונים בשאלות כאלה, ולכן, בדרך כלל, נהוג לצייר את הגרף של נגזרת שנייה באמצעות פונקציה לינארית (עולה או יורדת), אף על פי שאין זה מחייב שהפונקציה תראה כך

כללים ליצירת טבלה

1. סידור $x$ בטבלה על-פי הסדר שמתואר.
2. רשימת Y באופן הבא: הנתונים שיופיעו בטבלה יהיו על-פי $y$ של הנקודה כאשר בסוגריים נכתוב:
   • נקודת קיצון.
   • עליה/ירידה.
   • נקודה מעל/מתחת ציר $x$ .

המחשה

• 
  $y=x^{3}-3x$
• 
  א. גרף פונקציה - כחול ב. גרף נגזרת - ורוד

x	2-	1-	0	1	2	3
Y	עולה	נקודת קיצון	יורדת	נקודת קיצון	עולה	עולה
'Y	הנקודה בגרף 'y נמצאת מעל ציר x	0	הנקודה בגרף 'y נמצאת מתחת לציר x	0	הנקודה בגרף 'y נמצאת מעל ציר x	הנקודה בגרף 'y נמצאת מעל ציר x

כפי שניתן לראות בתמונה:

1. החלק הראשון של הנגזרת נמצא מעל ציר x.
2. הפונקציה נחתכת בציר x בנקודת הקיצון של הפונקציה (0,-1).
3. חלק שלישי – נמצאת מתחת לציר x (בטווח 0>x<1).
4. חלק רביעי – שוב נחתך בציר בנקודות הקיצון של הפונקציה (0,1).
5. חלק חמישי – נמצאת מעל ציר x.

דוגמא

מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 507 סעיף 5#סעיף ז