מתמטיקה תיכונית/פתרונות לספרים/מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 035006/עמוד 507 סעיף 5

$f(x)$ היא פונקציה שהנגזרת שלה היא הפונקציה $f'(x)={\frac {x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}}$

1. מצא את תחום ההגדרה של הנגזרת
2. מצא את נקודות הקיצון של הנגזרת
3. מצא את תחומי העליה והירידה של הנגזרת
4. מצא את נקודות החיתוך של הנגזרת
5. מצא את האסימפטוטות המקבילות עם הצירים של הפונקציה
6. שרטט גרף
7. ידוע שתחום ההגדרה של הפונקציה הוא כמו תחום ההגדרה של הנגזרת שלה.
   • מצא את שיעורי ה-X של נקודות הקיצון של הפונקציה וקבע את סוגן
   • מצא את תחומי העליה והירידה של הפונקציה.

(בני גורן, מתמטיקה (5 יחידות לימוד) חלק ו' שאלון 35006 עמוד 507 תרגיל 5)

סעיף א

$x\neq 1$

סעיף ז

על פי החומר שהצגנו לעיל, נקודות החיתוך של הנגזרת הן ערכי ה-X של נקודות הקיצון של הפונקציה. לפיכך נמצא את נקודות החיתוך של הפונקציה עם ציר ה-X על ידי הצבה Y=0

$0={\frac {x^{2}-2x-3}{(x-1)^{2}}}$

נקבל כי X=3 וכן X=-1

עתה נפנה לקבוע את סוגן באמצעות הצבה בנגזרת שנייה: $f(X)''={\frac {(2x-2)(x^{2}-x+1)-[(2x-2)(x^{2}-x-3)]}{(x-1)^{4}}}$

$f(x)''={\frac {2x^{3}-4x^{2}+2x-2x^{2}+4x-2-2x^{3}+4x^{2}+6x+2x^{2}-4x-6}{(x-1)^{4}}}$

$f(x)''={\frac {8x-8}{(x-1)^{4}}}$

נציב את X=-1 ונקבל תשובה חיובית ולכן זו נקודת מקסימום

נציב את X=3 ונקבל תשובה שלילית ולכן היא נקודת מינמום של הפונקציה.

נעבור לחלק ב' של השאלה.

נצייר טבלה

4	3	2	0	-1	-2	x
טקסט התא	טקסט התא	טקסט התא	טקסט התא	טקסט התא	טקסט התא	y
+	0	-	-	0	+	y'

עתה נסיק את המסקנות על הפונקציה

4	3	2	0	-1	-2	x
עולה	טקסט התא	יורדת	יורדת	טקסט התא	עולה	y
+	0	-	-	0	+	y'

תחומי עליה:$x<-1;x>3$

תחומי ירידה:$-1<x<3$