מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משיק למעגל = הוא ישר העובר בנקודה אחת ויחידה המשותפת למעגל.
משוואת המשיק למעגל
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle \ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
(
x
−
a
)
(
x
1
−
a
)
+
(
y
−
b
)
(
y
1
−
b
)
=
r
2
{\displaystyle (x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=r^{2}}
הוכחה זו מציגה את הדרך הארוכה למציאת משוואת המשיק למעגל
(
x
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle \ (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=r^{2}}
M
(
a
,
b
)
{\displaystyle M(a,b)}
P
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle P(x_{1},y_{1})}
נורמל = ישר המאונך לפונקציה בנקודת ההשקה. במעגל הרדיוס הוא תמיד הנורמל למעגל.
שלבים
נוסחה כללית
דוגמה
(
x
−
1
)
2
+
(
y
−
4
)
2
=
10
{\displaystyle (x-1)^{2}+(y-4)^{2}=10}
הורדת אנך (נורמל)
הורדת אנך
M
P
{\displaystyle MP}
M
(
a
,
b
)
{\displaystyle M(a,b)}
P
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle P(x_{1},y_{1})}
הורדת אנך
M
P
{\displaystyle MP}
M
(
1
,
4
)
{\displaystyle M(1,4)}
P
(
4
,
5
)
{\displaystyle P(4,5)}
נמצא את השיפוע הנורמל
m
m
p
=
y
1
−
b
x
1
−
a
{\displaystyle m_{mp}={\frac {y_{1}-b}{x_{1}-a}}}
m
m
p
=
5
−
4
4
−
1
=
1
3
{\displaystyle m_{mp}={\frac {5-4}{4-1}}={\frac {1}{3}}}
מאחר שהמשיק אנך לנורמל
M
P
{\displaystyle MP}
m
1
∗
m
2
=
−
1
{\displaystyle m_{1}*m_{2}=-1}
M
p
o
=
−
x
1
−
a
y
1
−
b
{\displaystyle M_{po}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}}
M
p
o
=
−
3
{\displaystyle M_{po}=-3}
נמצא את משוואת המשיק באמצעות נקודת ההשקה והשיפוע
y
−
y
1
=
−
x
1
−
a
y
1
−
b
(
x
−
x
1
)
{\displaystyle y-y_{1}=-{\frac {x_{1}-a}{y_{1}-b}}(x-x_{1})}
y
−
5
=
−
3
(
x
−
4
)
{\displaystyle y-5=-3(x-4)}
y
=
−
3
x
+
17
{\displaystyle y=-3x+17}
נפטר מהמונה
y
(
y
1
−
b
)
−
y
1
(
y
1
−
b
)
=
−
(
x
1
−
a
)
(
x
−
x
1
)
{\displaystyle y(y_{1}-b)-y_{1}(y_{1}-b)=-(x_{1}-a)(x-x_{1})}
נוציא סוגרים ונעביר אגפים
(
y
−
y
1
)
(
y
1
−
b
)
+
(
x
1
−
a
)
(
x
−
x
1
)
=
0
{\displaystyle (y-y_{1})(y_{1}-b)+(x_{1}-a)(x-x_{1})=0}
השלבים הבאים נועדו לעצב את המשוואה כך שנגיע אל הצורה הראשונית של משוואת המעגל
נוסיף ערכי
a
{\displaystyle a}
b
{\displaystyle b}
(
y
−
y
1
−
b
+
b
)
(
y
1
−
b
)
+
(
x
1
−
a
)
(
x
−
x
1
−
a
+
a
)
=
0
{\displaystyle (y-y_{1}-b+b)(y_{1}-b)+(x_{1}-a)(x-x_{1}-a+a)=0}
נכניס לסוגרים על מנת שנוכל להוציא
x
−
a
{\displaystyle x-a}
(
x
−
a
−
(
x
1
−
a
)
)
(
x
1
−
a
)
+
(
y
−
b
−
(
y
1
−
b
)
)
(
y
1
−
b
)
=
0
{\displaystyle (x-a-(x_{1}-a))(x_{1}-a)+(y-b-(y_{1}-b))(y_{1}-b)=0}
נפתח סוגריים באמצעות הכפלה
(
x
−
a
)
(
x
1
−
a
)
−
(
x
1
−
a
)
2
+
(
y
−
b
)
(
y
1
−
b
)
−
(
y
1
−
b
)
2
=
0
{\displaystyle (x-a)(x_{1}-a)-(x_{1}-a)^{2}+(y-b)(y_{1}-b)-(y_{1}-b)^{2}=0}
נסדר אגפים
(
x
−
a
)
(
x
1
−
a
)
+
(
y
−
b
)
(
y
1
−
b
)
=
(
x
1
−
a
)
2
+
(
y
1
−
b
)
2
{\displaystyle (x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=(x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}}
הצבת הנקודה
P
(
x
1
,
y
1
)
{\displaystyle P(x_{1},y_{1})}
(
x
−
a
)
(
x
1
−
a
)
+
(
y
−
b
)
(
y
1
−
b
)
=
r
2
⏟
P
∘
→
(
x
1
−
a
)
2
+
(
y
1
−
b
)
2
=
r
2
{\displaystyle (x-a)(x_{1}-a)+(y-b)(y_{1}-b)=\underbrace {r^{2}} _{P_{\circ }\rightarrow (x_{1}-a)^{2}+(y_{1}-b)^{2}=r^{2}}}
דרך זו מהירה יותר ממשוואת המשיק באמצעות נקודה דרכה עובר המשיק למציאת נקודת ההשקה.
הוכח כי ישר א הוא אנך למעגל - יש להוכיח שהוא מאונך לרדיוס בקצהו. 
