מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/המעגל/משוואת המשיק למעגל באמצעות נקודת השקה

הגדרה

משיק למעגל = הוא ישר העובר בנקודה אחת ויחידה המשותפת למעגל.

משוואת המשיק למעגל $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ היא $(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$.

דוגמה 1: מצא את משוואת המשיק למעגל $(x-1{)}^2+(y-4{)}^2=10$ בנקודה $(4,5)$ נציב את הנתונים בנוסחה $(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=r^2$. נציב את הנתונים בנוסחה $(x-1)(4-1)+(y-4)(5-4)=10$. נפשט $3(x-1)+(y-4)=10$ נפתח סוגריים: $3x-3+y-4=10$ משוואת המשיק הינה $3x+y-17=0$

הוכחה

הוכחה זו מציגה את הדרך הארוכה למציאת משוואת המשיק למעגל $(x-a{)}^2+(y-b{)}^2=r^2$ שמרכזו $M(a,b)$ בנקודה $P(x_1,y_1)$ ומובילה לנוסחה המוצגת בראשית הפרק. הדרך הארוכה מתבססת על מציאת שיפוע המשיק באמצעות שיפוע הנורמל.

נורמל = ישר המאונך לפונקציה בנקודת ההשקה. במעגל הרדיוס הוא תמיד הנורמל למעגל.

שלבים	נוסחה כללית	דוגמה $(x-1{)}^2+(y-4{)}^2=10$
הורדת אנך (נורמל)	הורדת אנך $MP$ מנקודת המרכז $M(a,b)$ לנקודה ההשקה $P(x_1,y_1)$	הורדת אנך $MP$ מנקודת המרכז $M(1,4)$ לנקודה ההשקה $P(4,5)$
נמצא את השיפוע הנורמל	$m_{mp}=\frac{y_1-b}{x_1-a}$	$m_{mp}=\frac{5-4}{4-1}=\frac{1}{3}$
מאחר שהמשיק אנך לנורמל $MP$ $m_1\ast m_2=-1$	$M_{po}=-\frac{x_1-a}{y_1-b}$	$M_{po}=-3$
נמצא את משוואת המשיק באמצעות נקודת ההשקה והשיפוע	$y-y_1=-\frac{x_1-a}{y_1-b}(x-x_1)$	$y-5=-3(x-4)$ $y=-3x+17$
נפטר מהמונה	$y(y_1-b)-y_1(y_1-b)=-(x_1-a)(x-x_1)$
נוציא סוגרים ונעביר אגפים	$(y-y_1)(y_1-b)+(x_1-a)(x-x_1)=0$
השלבים הבאים נועדו לעצב את המשוואה כך שנגיע אל הצורה הראשונית של משוואת המעגל
נוסיף ערכי $a$ וגם $b$ בכדי להגיע למשוואת המעגל הכללית	$(y-y_1-b+b)(y_1-b)+(x_1-a)(x-x_1-a+a)=0$
נכניס לסוגרים על מנת שנוכל להוציא $x-a$	$(x-a-(x_1-a))(x_1-a)+(y-b-(y_1-b))(y_1-b)=0$
נפתח סוגריים באמצעות הכפלה	$(x-a)(x_1-a)-(x_1-a{)}^2+(y-b)(y_1-b)-(y_1-b{)}^2=0$
נסדר אגפים	$(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=(x_1-a{)}^2+(y_1-b{)}^2$
הצבת הנקודה $P(x_1,y_1)$ במשוואת המעגל נותנת רדיוס בשנייה	$(x-a)(x_1-a)+(y-b)(y_1-b)=\underset{P_{\circ }\to (x_1-a{)}^2+(y_1-b{)}^2=r^2}{\underbrace{r^2}}$

דרך זו מהירה יותר ממשוואת המשיק באמצעות נקודה דרכה עובר המשיק למציאת נקודת ההשקה.

דוגמאות

• הוכח כי ישר א הוא אנך למעגל - יש להוכיח שהוא מאונך לרדיוס בקצהו.