מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/המעגל/הזווית בין ישר למעגל

הגדרה

הזווית בין מעגל לישר היא הזווית החדה הנוצרת בין ישר למשיק של המעגל באותה נקודה.

הגדרה זו מתבססת על ההנחה כי הזווית בין משיק למעגל תמיד $0^{\circ}$

שלבים למציאת הזווית

נמצא את נקודות החיתוך של הישר עם המעגל.
נמצא את שיפוע המשיק והישר
נציב את השיפועים בנוסחה למציאת זווית בין ישרים נחתכים : $t a n = \frac{| m_{2} - m_{1} |}{1 + m_{2} * m_{1}}$

דוגמה 1: הזווית בין ישר למעגל

מצא את הזווית החדה שבין הישר $2 x - y + 11 = 0$ למעגל $(x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 65$ .

נמצא את נקודות החיתוך של הישר עם המעגל באמצעות הצבה:

${\begin{matrix} (x - 1)^{2} + (y - 3)^{2} = 65 \\ 2 x + 11 = y \end{matrix}$

$\begin{matrix} (x - 1)^{2} + (2 x + 11 - 3)^{2} = 65 \\ (x - 1)^{2} + (2 x + 8)^{2} = 65 \\ x^{2} - 2 x + 1 + 4 x^{2} + 32 x + 64 = 65 \\ 5 x^{2} + 30 x = 0 \\ x (x + 6) = 0 \\ x_{1} = 0, x_{2} = - 6 \\ y_{1} = 2 * 0 + 11 = 11, y_{2} = 2 * - 6 + 11 = - 1 \\ P (0, 11), O (- 6, - 1) \end{matrix}$

נמצא את שיפוע האנך $P M$ הנמצא בין הנקודה $M (1, 3)$ לנקודה $P (0, 11)$

$\begin{matrix} M_{p m} = \frac{3 - 11}{1 - 0} = - 8 \end{matrix}$

נמצא את שיפוע המשיק העובר דרך הנקודה $P (0, 11)$ ומאונך לאנך $P M$ :

$\begin{matrix} m_{1} * m_{p m} = - 1 \\ m_{1} * - 8 = - 1 \\ m_{1} = \frac{1}{8} \end{matrix}$

נמצא את שיפוע הישר $2 x + 11 = y$ על פי המקדם ( $m$ ) של $x$ . במילים אחרות שיפוע הישר הוא $2$ .

נציב בנוסחה של זווית בין ישירים:

$t a n α = \frac{| m_{2} - m_{1} |}{1 + m_{2} * m_{1}} = \frac{\frac{15}{8}}{\frac{5}{4}} = \frac{15}{8} * \frac{4}{5} = \frac{3}{2}$

נחלץ את הזווית באמצעות לחיצה על Arctan ונגלה כי גודל הזווית שווה $56.3099$