מתמטיקה תיכונית/הנדסה אנליטית/המעגל/אנך מהמרכז למיתר במעגל חוצה את המיתר

בשאלות מסוג כזה יהיה נתון לנו משוואת מיתר, אורכו ונקודת המרכז. עלינו יהיה למצוא את משוואת הישר.

נעזר במשפט אנך מהמרכז למיתר במעגל חוצה את המיתר בכדי למצוא את רדיוס המעגל באמצעות משפט פיתגורס:

1. נוריד אנך מנקודת המרכז $M$ אל אמצע המיתר בנקודה $O$.
2. $MO$ הינו המרחק בין הנקודה $M$ לישר לכן נעזר בנוסחא מרחק נקודה מישר לפיה $d=\left|{m\cdot x_{0}-y_{0}+n \over {\sqrt {m^{2}+1}}}\right|$. נציב במונה את משוואת הישר הכללית ובמונה נציב את שיפוע הישר. כמו גם, נציב את נקודת המרכז ונמצא את אורך האנך.
3. נמצא את אורך מחצית המיתר באמצעות אורך המיתר הנתון וחילוקו בשתיים.
4. על סמך משפט פיתגורס נחשב את רדיוס המעגל ($MA$).
5. נציב את רדיוס המעגל ואת נקודת המרכז במשוואה הכללית של המעגל.

דוגמה

מעגל שמרכזו בנקודה $M(7,3)$ חותך מהישר $3x+y-4=0$ מיתר שאורכו ${\sqrt {40}}$.

על פי המשפט אנך מהמרכז למיתר במעגל חוצה את המיתר נוריד אנך אל אמצע המיתר $AB$ בנקודה $O$.

$MO$ היא המרחק מהנקודה $M$ לישר $AB$. בהסתמך על נוסחת מרחק נקודה מישר ($d=\left|{m\cdot x_{0}-y_{0}+n \over {\sqrt {m^{2}+1}}}\right|$)/

נציב את המשוואה הכללית של המיתר במכנה, בומנה את השיפוע וכן נציב את ערכי נקודת המרכז. נקבל: $d_{MO}=\left|{3*7+3-4 \over {\sqrt {3^{2}+1}}}\right|=2*{\sqrt {10}}$

נמצא את אורך מחצית המיתר באמצעות חילוק גודל המיתר בשנים, נקבל ${\frac {\sqrt {40}}{2}}={\sqrt {10}}$

צלע $MA$ היא הרדיוס במעגל הנמצא במשולש ישר זווית $\triangle MAO$. על פי משפט פיתגורס $a^{2}+b^{2}=c^{2}$ דהינו $AO^{2}+MO^{2}=MA^{2}$.

נציב את הנתונים $r^{2}=({\sqrt {10}})^{2}+(2{\sqrt {)}}^{2}=50$

נמצא עתה את משוואת המעגל על סמך נקודת המרכז $M(7,3)$ והרדיוס $r^{2}==50$ ונקבל $(x-7)^{2}+(y-3)^{2}=50$