מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משוואות מעריכיות [ עריכה ] משוואות מעריכיות הן משוואות בהן המשתנה מופיע במעריך של חזקה (יתכן שהמשתנה יופיע גם בבסיסה).
אופן הפתרון [ עריכה ] הכלל: אם
a
n
=
a
m
{\displaystyle a^{n}=a^{m}}
n
=
m
{\displaystyle n=m}
במילים אחרות, מטרתנו להביא את המשוואה למצב בו הבסיסים שווים כך שנוכל להשוות את המעריכים. ברגע שבו שני הבסיסים שווים ושני האגפים שווים אבל המעריכים שונים, זה אומר שהתוצאה של פעולת החזקה בשני האגפים שווה ולכן גם החזקות צריכות להיות שוות. ברוב המשוואות יש להעזר בחוקי החזקות .
מאחר שאנחנו נעזרים בחוקי חזקות, בין היתר בחוק לפיו
a
m
n
=
a
m
n
{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}
לא קיים פתרון למשוואה :
a
m
=
−
b
{\displaystyle a^{m}=-b}
דוגמה 1: בסיס קבוע באמצעות כפל חזקות שוות-בסיס
3
2
x
−
2
⋅
(
3
)
x
−
2
=
(
1
9
)
1
−
x
{\displaystyle 3^{2x-2}\cdot \left({\sqrt {3}}\right)^{x-2}=\left({\frac {1}{9}}\right)^{1-x}}
הבסיס המשותף בדוגמה זו הוא 3. מכאן:
3
2
x
−
2
⋅
(
3
1
2
)
x
−
2
=
(
3
−
2
)
1
−
x
{\displaystyle 3^{2x-2}\cdot \left(3^{\frac {1}{2}}\right)^{x-2}=\left(3^{-2}\right)^{1-x}}
לפי חוק חזקה של חזקה:
3
2
x
−
2
⋅
3
1
2
(
x
−
2
)
=
3
−
2
(
1
−
x
)
3
2
x
−
2
+
x
−
2
2
=
3
2
(
x
−
1
)
{\displaystyle {\begin{matrix}3^{2x-2}\cdot 3^{{\frac {1}{2}}(x-2)}=3^{-2(1-x)}\\3^{2x-2+{\frac {x-2}{2}}}=3^{2(x-1)}\end{matrix}}}
הבסיסים שווים, מכאן שגם המעריכים:
2
x
−
2
+
x
−
2
2
=
2
(
x
−
1
)
/
⋅
2
4
x
−
4
+
x
−
2
=
4
(
x
−
1
)
5
x
−
6
=
4
x
−
4
x
=
2
{\displaystyle {\begin{matrix}2x-2+{\dfrac {x-2}{2}}=2(x-1)\quad {\Big /}\cdot 2\\4x-4+x-2=4(x-1)\\5x-6=4x-4\\x=2\end{matrix}}}
וזהו הפתרון.
דוגמה 2: בסיס קבוע כפל מקוצר
2
2
x
+
1
+
12
=
20
⋅
2
x
−
1
{\displaystyle 2^{2x+1}+12=20\cdot 2^{x-1}}
נעביר את כל האברים לאגף שמאל, ונתחיל לפתוח את החזקות לפי חוקי חזקות:
2
2
x
+
1
−
20
⋅
2
x
−
1
+
12
=
0
2
2
x
⋅
2
1
−
20
⋅
2
x
⋅
2
−
1
+
12
=
0
2
⋅
2
2
x
−
20
⋅
2
x
2
+
12
=
0
/
:
2
(
2
x
)
2
−
5
⋅
2
x
+
6
=
0
{\displaystyle {\begin{matrix}2^{2x+1}-20\cdot 2^{x-1}+12=0\\\\2^{2x}\cdot 2^{1}-20\cdot 2^{x}\cdot 2^{-1}+12=0\\\\2\cdot 2^{2x}-20\cdot {\dfrac {2^{x}}{2}}+12=0\quad {\Big /}:2\\\\(2^{x})^{2}-5\cdot 2^{x}+6=0\end{matrix}}}
עכשיו, בכדי להקל על פתרון המשוואה נציב
t
=
2
x
{\displaystyle t=2^{x}}
t
2
−
5
t
+
6
=
0
t
1
,
2
=
−
(
−
5
)
±
5
2
−
4
⋅
1
⋅
6
2
⋅
1
=
5
±
1
2
t
1
=
3
,
t
2
=
2
{\displaystyle {\begin{matrix}t^{2}-5t+6=0\\t_{1,2}={\dfrac {-(-5)\pm {\sqrt {5^{2}-4\cdot 1\cdot 6}}}{2\cdot 1}}={\dfrac {5\pm 1}{2}}\\t_{1}=3\quad ,\quad t_{2}=2\end{matrix}}}
ומכאן ש:
t
1
=
2
x
1
,
t
2
=
2
x
2
3
=
2
x
1
,
2
=
2
x
2
x
1
=
log
2
(
3
)
,
x
2
=
1
{\displaystyle {\begin{matrix}t_{1}=2^{x_{1}}\quad ,\quad t_{2}=2^{x_{2}}\\3=2^{x_{1}}\quad ,\quad 2=2^{x_{2}}\\x_{1}=\log _{2}(3)\quad ,\quad x_{2}=1\end{matrix}}}
ואלו הפתרונות.
דוגמה 3: שני בסיסים קבועים
תרגיל
5
2
x
+
2
+
16
∗
15
x
−
9
x
+
1
=
0
{\displaystyle 5^{2x+2}+16*15^{x}-9^{x+1}=0}
נושא
משוואות מעריכיות
פתרונות
5
2
x
+
2
+
16
∗
15
x
−
9
x
+
1
=
0
5
2
x
∗
5
2
+
16
∗
5
x
∗
3
x
−
3
2
x
∗
3
2
=
0
5
2
x
3
2
x
+
16
∗
5
x
3
x
−
9
=
0
t
=
5
x
3
x
2
t
2
+
16
t
−
9
=
0
−
16
±
16
2
+
4
∗
9
∗
25
2
∗
25
−
16
±
34
50
t
1
=
18
50
t
2
=
−
1
5
x
3
x
=
18
50
5
x
3
x
=
−
1
5
x
3
x
=
3
2
∗
2
5
2
∗
2
x
=
w
r
o
n
g
v
a
l
u
e
5
x
3
x
=
3
2
5
2
5
x
∗
3
−
x
=
3
2
∗
5
−
2
x
=
−
2
x
=
−
2
{\displaystyle {\begin{aligned}5^{2x+2}+16*15^{x}-9^{x+1}=0\\5^{2x}*5^{2}+16*5^{x}*3^{x}-3^{2x}*3^{2}=0\\{\frac {5^{2x}}{3^{2x}}}+16*{\frac {5^{x}}{3^{x}}}-9=0\\t={\frac {5^{x}}{3^{x}}}\\2t^{2}+16t-9=0\\{\frac {-16\pm {\sqrt {16^{2}+4*9*25}}}{2*25}}\\{\frac {-16\pm 34}{50}}\\t_{1}={\frac {18}{50}}\ \ \ \ t_{2}=-1\\{\frac {5^{x}}{3^{x}}}={\frac {18}{50}}\ \ \ \ \ \ {\frac {5^{x}}{3^{x}}}=-1\\{\frac {5^{x}}{3^{x}}}={\frac {3^{2}*2}{5^{2}*2}}\ \ \ \ \ \ \ x=wrongvalue\\{\frac {5^{x}}{3^{x}}}={\frac {3^{2}}{5^{2}}}\\5^{x}*3^{-x}=3^{2}*5^{-2}\\x=-2\ \ \ x=-2\end{aligned}}}
![{\displaystyle a^{\frac {m}{n}}={\sqrt[{n}]{a^{m}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb409de8f30f86d2ee48c97de1f939fdd257d916)
