מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/משוואות מעריכיות/בסיס קבוע/תרגילים

תרגיל 1: $4^{3x-1}=8^{x}$
בשלב זה, ניתן לראות כי שני הבסיסים הם חזקה של אותו מספר: 2. לכן: $(2^{2})^{3x-1}=(2^{3})^{x}$ לפי החוק של חזקה של חזקה ניתן להגיע ל: $2^{2(3x-1)}=2^{3x}$ הבסיסים שווים, לכן ניתן להשוות מעריכים: $2(3x-1)=3x$ $6x-2=3x$ $3x=2$ $x={\frac {2}{3}}$

תרגיל 2: $3^{x+1}-3^{x-1}+2\cdot 3^{x}=14$

ניתן לראות כי באגף שמאל כל הגורמים קשורים בצורה עקיפה ל- $3^{x}$ , ולכן נשתמש בחוקי חזקות כדי להביא אותם לקשר ישיר: $3^{x}\cdot 3^{1}-3^{x}\cdot 3^{-1}+2\cdot 3^{x}=14$ $3\cdot 3^{x}-{\frac {3^{x}}{3}}+2\cdot 3^{x}=14$ נכפיל את שני אגפי המשוואה ב-3 בכדי להיפטר מהמכנה: $9\cdot 3^{x}-3^{x}+6\cdot 3^{x}=42$ כעת נוציא מאגף שמאל גורם משותף- $3^{x}$ : $3^{x}\cdot (9-1+6)=42$ $14\cdot 3^{x}=42$ $3^{x}=3$ $3^{x}=3^{1}$ הבסיסים שווים, ומכאן שהמעריכים שווים: $x=1$וזהו הפתרון.

תרגיל 3: $2^{4x-4}\cdot 8^{x}=4^{2-x}$
נראה כי זה בעצם $2^{4x-4}\cdot (2^{3})^{x}=(2^{2})^{2-x}$ שזה אומר ש- $2^{4x-4}\cdot 2^{3x}=2^{2(2-x)}$ ולכן נגיע ל- $2^{4x-4+3x}=2^{2(2-x)}$ וכעת הגענו לצורה המבוקשת. משוואה שבכל אגף יש חזקה עם אותו בסיס. אז נשווה את המעריכים בלבד ונקבל: $4x-4+3x=2(2-x)$ זה משוואה ממעלה ראשונה בנעלם אחד שפתרונה פשוט: $7x-4=4-2x\Rightarrow 9x=8\Rightarrow x={\frac {8}{9}}$