לדלג לתוכן

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/אי-שוויונות מעריכיים

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

הגדרה[עריכה]

אי-שוויונות מעריכיים הם אי-שוויונות בהם מופיע משתנה במעריך של חזקה. דוגמא לכך היא:

כאמור, בכדי לפתור תרגילים עם מעריכים הבסיסים חייבים להיות חיוביים.

אופן הפתרון[עריכה]

נבצע את השלבים הבאים:

  1. נייצר משוואה עם בסיסים זהים
  2. תחום הגדרה - כאשר הבסיס הוא עם נעלמים יש לבדוק כל מצב. במידה והבסיס הוא מספר נצטרך לבדוק איזה תנאי הוא ממלא מהבאים ולפיו לפתור:
    • בסיס גדול מ-1 - כיוון אי השיוויון נשמר. למה? אם (פונקציה עולה) נוכל לטעון כי ככל שמעריך החזקה יגדל כך החזקה עצמה תגדל. לדוגמא: , ככל ש- גדל כך החזקה תגדל. כיון שכך, אזי כיוון אי-השוויון יהיה זהה לכיוון אי-השוויון בין החזקות.
  3. הבסיס בין אפס לאחד.
    • אם כיוון אי השיוויון משתנה. למה? נוכל לטעון כי ככל שמעריך החזקה יגדל כך החזקה עצמה תקטן, מפני שאנו מכפילים בסיס בשבר המקטין את התוצאה.
לדוגמא: , ככל ש- גדל כך נכפול את החצי בעצמו יותר פעמים, מה שיקטין את התוצאה. כיון שכך, אזי כיוון אי-השוויון בין המעריכים יהיה הפוך לכיוון אי-השוויון בין החזקות.

דוגמאות[עריכה]

דוגמה 1: בסיס קבוע כאשר

בדרך פתרון זו, אנו נהפוך את שתי החזקות, לחזקות עם בסיסים שלמים:

לפי חוקי חזקות (חוק של חזקה במכנה), נקבל:

נמשיך לפתור ע"פ חוקי חזקות:

עתה הבסיסים שווים. כיון שהבסיס (המשותף) , אז כיוון אי-השוויון של המעריכים זהה לכיוון אי-השוויון היסודי:

לפנינו נוסחא לביטוי ריבועי (הנוסחא השניה). מכאן:

וזהו הפתרון.




דוגמה 2: בסיס קבוע כאשר

אנו שמים לב כי . מכאן:

עתה הבסיסים שווים. כיון שהבסיס (המשותף) , כיוון אי-השוויון בין המעריכים הפוך לכיוון אי-השוויון היסודי (כי שבר כמו 1/2 קטן ככל שהמעריך גדל):

לפנינו נוסחא לביטוי ריבועי (הנוסחא השניה). מכאן:

וזהו הפתרון.




דוגמה 3: בסיס משתנה

כאן, המשתנה מופיע הן במעריכי החזקות והן בבסיסיהן. לכן יש לבדוק את תחום ההגדרה. בתחום ההגדרה נכללים רק בסיסים חיוביים.(בסיס שלילי הופך את הסימנים ונותן תשובות בתמונת ראי ). מכיוון שהבסיס זהה בשתי החזקות, נבדוק מתי הוא חיובי:

זהו תחום ההגדרה. כעת ניגש לפתרון התרגיל. כיון שאין אנו יודעים אם הבסיס או , יש להפריד בין שני המקרים:

מקרה ראשון - הבסיס

ראשית נבדוק מתי הבסיס בכלל.

אם הבסיס , אז כיוון אי-השוויון בין המעריכים זהה לכיוון אי-השוויון היסודי:

שורשי הביטוי מצד שמאל הם . לכן פתרון אי-שוויון זה הוא:

כעת נמצא את תחום החיתוך בין התחום עבורו מוגדר המקרה , ובין התוצאה שיצאה עבורו:

זהו הפתרון של המקרה הראשון. נעבור למקרה הבא.

מקרה שני - הבסיס

ראשית נבדוק מתי הבסיס בכלל (ניתן, כמו-כן, למצוא מתי הבסיס ולערוך לתחום זה חיתוך עם תחום ההגדרה (משמעות פעולה זו היא זהה).

אם הבסיס (וזהו המקרה הנדון), אז כיוון אי-השוויון בין המעריכים הפוך לכיוון אי-השוויון היסודי (כי שבר כמו 1/2 קטן ככל שהמעריך גדל):

שורשי הביטוי מצד שמאל הם . לכן פתרון אי-שוויון זה הוא:

כעת נמצא את תחום החיתוך בין התחום עבורו מוגדר המקרה , ובין התוצאה שיצאה עבורו:

כלומר, אין פתרון למקרה זה.

סיכום

הפתרון במקרה א'-

הפתרון במקרה ב' - - אין פתרון

לכן הפתרון הכולל הוא .



הפרק הקודם:
משוואות לוגריתמיות
אי שוויונות מעריכיים
תרגילים
הפרק הבא:
אי-שוויונות לוגריתמיים