מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מעריכים ולוגריתמים/אי-שוויונות לוגריתמיים

		הדף נמצא בשלבי עבודה: כדי למנוע התנגשויות עריכה ועבודה כפולה אתם מתבקשים שלא לערוך ערך זה בטרם תוסר הודעה זו, אלא אם כן תיאמתם זאת עם מניחי התבנית.
		אם הדף לא נערך במשך שבוע ניתן להסיר את התבנית ולערוך אותו, אך רצוי לתת קודם תזכורת בדף שיחת הכותבים.	שיחה

בחלק זה של הספר יוסבר כיצד לפתור אי-שוויונות לוגריתמיים, למשל:

$\log(x)>\log(x+2)$

רקע תיאורטי פורמלי

• תחום ההגדרה: הפונקציה $\log _{a}(x)$ מוגדרת לכל ${\begin{matrix}0<a\neq 1\\x>0\end{matrix}}$ (ראה פרק הלוגריתמים)
• עליה וירידה של הפונקציה: לכל $a>1$ הפונקציה $\log _{a}(x)$ עולה ממש ולכל $0<a<1$ הפונקציה יורדת ממש. מכאן שלכל $x_{2},x_{1}>0$:
  • אם $0<a<1$
    • $\log _{a}(x_{2})>log_{a}(x_{1})$ אם ורק אם $x_{2}<x_{1}$.
    • $\log _{a}(x_{2})=log_{a}(x_{1})$ אם ורק אם $x_{2}=x_{1}$
  • אם $a>1$
    • $\log _{a}(x_{2})>log_{a}(x_{1})$ אם ורק אם $x_{2}>x_{1}$.
    • $\log _{a}(x_{2})=log_{a}(x_{1})$ אם ורק אם $x_{2}=x_{1}$

פתרון אי-שוויונות לוגריתמיים עם בסיס קבוע

• נמצא את תחום ההגדרה
• נעבור לצורה$\log _{a}\left(f(x)\right)>\log _{a}\left(g(x)\right)$
  • אם $0<a<1$ נפתור את אי השיוויון $f(x)<g(x)$
  • אם $a>1$ נפתור את אי השיוויון $f(x)>g(x)$
• נמצא את קבוצת האמת של אי-השיוויון המקורי על ידי חיתוך של קבוצת הפתרונות אליה הגענו עם תחום ההצבה.

דוגמאות

דוגמא א'

$\log _{2}(x)<-3$

תחום ההגדרה: $x>0$

אי השיוויון שקול ל-

$\log _{2}(x)<log_{2}({\dfrac {1}{8}})$

(כיוון ש-$\log _{2}({\dfrac {1}{8}})=-3$).

כמו כן, הבסיס של $\log _{2}(x)$ גדול מ-1 ולכן הפונקציה עולה.

מכאן

$x<{\dfrac {1}{8}}$

יחד עם תחום ההגדרה נקבל

$0<x<{\dfrac {1}{8}}$

דוגמא ב'

$\log _{\frac {3}{2}}(x^{2}+2x)<\log _{\frac {3}{2}}(3)$

תחום ההגדרה:

$x>x^{2}+2x\iff x(x+2)>0\iff x<-2\lor x>0$

אי-שוויון שקול תחת ת"ה:

$x^{2}+2x<3\iff x^{2}+2x-3<0\iff (x+3)(x-1)<0\iff -3<x<1$

(כי ${\frac {3}{2}}>1$ ולכן $f(x)=\log _{\frac {3}{2}}(x)$ מונוטונית עולה).

קבוצת האמת של אי-השוויון:

$\left\{x|-3<x<-2\lor 0<x<1\right\}$

דוגמא ג'

$\log _{\frac {1}{3}}(x^{2}+1)<\log _{\frac {1}{3}}(2x)$

תחום ההגדרה:

${\begin{array}{lcr}&{\begin{cases}x^{2}+1>0\\2x>0\end{cases}}\\\Updownarrow \\&x>0\end{array}}$

אי-שוויון שקול תחת ת"ה:

${\begin{array}{lcr}&x^{2}+1>2x\\\Updownarrow \\&x^{2}-2x+1>0\\\Updownarrow \\&\left(x^{2}-1\right)^{2}>0\\\Updownarrow \\&x>1\lor x<-1\end{array}}$

קבוצת האמת של אי-השוויון:

$\left\{x|x>1\right\}$

פתרון אי-שוויונות לוגרתמיים בצורה של אי-שיוויונות ריבועיים

דוגמא

$\log _{3}(81x)\cdot \log _{3}(x)>-4$

כיון שהמספר שבתוך הלוגריתם חייב להיות חיובי, תחום ההגדרה הוא:

$x>0$

נשתמש בחוקי הלוגריתמים כדי לפשט את אי-השוויון.

${\begin{matrix}{\big (}\log _{3}(81)+\log _{3}(x){\big )}\cdot \log _{3}(x)>-4\\\\{\big (}\log _{3}(3^{4})+\log _{3}(x){\big )}\cdot \log _{3}(x)>-4\\\\{\big (}4\log _{3}(3)+\log _{3}(x){\big )}\cdot \log _{3}(x)>-4\\\\{\big (}4+\log _{3}(x){\big )}\cdot \log _{3}(x)>-4\end{matrix}}$

נסמן $t=\log _{3}(x)$ .

${\begin{matrix}t(t+4)>-4\\\\t^{2}+4t+4>0\\\\(t+2)^{2}>0\end{matrix}}$

כיון שהביטוי באגף השמאלי הוא תחת חזקה זוגית, הוא תמיד יהיה חיובי או 0. הוא מתאפס עבור $t=-2$ ולכן נכתוב:

${\begin{matrix}t\neq -2\\\\\log _{3}(x)\neq -2\\\\x\neq {\dfrac {1}{9}}\end{matrix}}$

בשילוב עם תחום ההגדרה שמצאנו, ניתן לכתוב את הפתרון בשני דרכים:

$x>0$ וגם $x\neq {\frac {1}{9}}$

$0<x<{\frac {1}{9}}$ או $x>{\frac {1}{9}}$