בדומה לפתרון של מספרים ממשיים, ניתן לבצע את כל הפעולות המתמטיות במספרים מרוכבים תוך שמירה על החלוקה בין מספרים מדומים וממשים.
בכפל חשוב לזכור כי
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
בחילוק נעזר במספר צמוד על מנת לפתור את התרגיל.
חיבור וקטורים מתבצע במרחב באמצעות השלמה למקבלית במערכת הצירים נזיז את אחד הווקטורים אל קצהו של הוקטור השני נחבר או נחסר את החלק הממשי בממשי ואת המדומה בדומה. פעולת החיסור זהה לחלוטין משום שהיא שקולה לחיבור עם מספר נגדי (
z
=
−
a
−
b
i
{\displaystyle z=-a-bi}
באופן כללי, חיבור של שני מספרים מרוכבים מתבצע כך:
(
a
+
b
i
)
±
(
c
+
d
i
)
=
(
a
±
c
)
+
(
b
±
d
)
i
{\displaystyle (a+bi)\pm (c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i}
דוגמה 1: פעולת חיבור
(
5
+
3
i
)
+
(
7
+
2
i
)
=
(
5
+
7
)
+
(
3
+
2
)
i
=
12
+
5
i
{\displaystyle (5+3i)+(7+2i)=(5+7)+(3+2)i=12+5i}
כל מה שעשינו כאן היה לשנות את סדר הסכימה ולהוציא גורם משותף
i
{\displaystyle i}
דוגמה 2: פעולת חיבור
(
5
+
3
i
)
−
(
7
+
2
i
)
=
(
5
−
7
)
+
(
3
−
2
)
i
=
−
2
+
i
{\displaystyle (5+3i)-(7+2i)=(5-7)+(3-2)i=-2+i}
נשתמש בכללי הכפל הרגילים עבור מספרים ממשיים, ונזכור כי
i
2
=
−
1
{\displaystyle i^{2}=-1}
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
w
=
c
+
d
i
{\displaystyle w=c+di}
חוק הפילוג ונבצע:
(
a
+
b
i
)
(
c
+
d
i
)
=
a
c
+
b
i
⋅
c
+
a
d
i
+
b
i
⋅
d
i
=
a
c
+
b
c
i
+
a
d
i
+
b
d
i
2
=
a
c
+
b
c
i
+
a
d
i
−
b
d
=
(
a
c
−
b
d
)
+
(
b
c
+
a
d
)
i
{\displaystyle {(a+bi)(c+di)=ac+bi\cdot c+adi+bi\cdot di=ac+bci+adi+bdi^{2}=ac+bci+adi-bd=(ac-bd)+(bc+ad)i}}
להלן מספר דוגמאות:
(
1
+
3
i
)
⋅
5
=
5
+
15
i
{\displaystyle (1+3i)\cdot 5=5+15i}
(
2
+
3
i
)
(
4
i
)
=
8
i
+
12
i
2
=
−
12
+
8
i
{\displaystyle (2+3i)(4i)=8i+12i^{2}=-12+8i}
(
4
+
2
i
)
(
−
3
+
3
i
)
=
−
12
+
12
i
−
6
i
+
6
i
2
=
−
12
−
6
+
12
i
−
6
i
=
−
18
+
6
i
{\displaystyle (4+2i)(-3+3i)=-12+12i-6i+6i^{2}=-12-6+12i-6i=-18+6i}
חילוק היא הפעולה ההפוכה לכפל כלומר אם נרצה לחשב את המנה של לדוגמה,
3
+
2
i
4
+
i
{\displaystyle {\frac {3+2i}{4+i}}}
(
3
+
2
i
)
⋅
1
4
+
i
{\displaystyle (3+2i)\cdot {\frac {1}{4+i}}}
1
4
+
i
{\displaystyle {\frac {1}{4+i}}}
מספר צמוד (
z
¯
{\displaystyle {\bar {z}}}
המספר הצמוד למספר
z
=
a
+
b
i
{\displaystyle z=a+bi}
z
¯
=
a
−
b
i
{\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}
הכפלה במספר הצמוד תבטל את ערכו של ה-
i
{\displaystyle i}
נוסחת הכפל המקוצר :
(
a
+
b
i
)
(
a
−
b
i
)
=
a
2
−
b
2
⋅
i
2
=
a
2
+
b
2
{\displaystyle (a+bi)(a-bi)=a^{2}-b^{2}\cdot i^{2}=a^{2}+b^{2}}
1
4
+
i
=
1
4
+
i
⋅
4
−
i
4
−
i
=
4
−
i
(
4
+
i
)
(
4
−
i
)
=
4
−
i
16
−
4
i
+
4
i
−
i
2
=
4
−
i
16
+
1
=
4
17
−
i
17
{\displaystyle {\frac {1}{4+i}}={\frac {1}{4+i}}\cdot {\frac {4-i}{4-i}}={\frac {4-i}{(4+i)(4-i)}}={\frac {4-i}{16-4i+4i-i^{2}}}={\frac {4-i}{16+1}}={\frac {4}{17}}-{\frac {i}{17}}}
כעת ניתן לבצע את פעולת החילוק:
(
3
+
2
i
)
⋅
1
4
+
i
=
(
3
+
2
i
)
⋅
(
4
17
−
i
17
)
=
12
17
+
2
17
+
8
i
17
−
3
i
17
=
14
17
+
5
i
17
{\displaystyle (3+2i)\cdot {\frac {1}{4+i}}=(3+2i)\cdot ({\frac {4}{17}}-{\frac {i}{17}})={\frac {12}{17}}+{\frac {2}{17}}+{\frac {8i}{17}}-{\frac {3i}{17}}={\frac {14}{17}}+{\frac {5i}{17}}}
