לדלג לתוכן

מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/מספרים מרוכבים/הצמוד המרוכב והערך המוחלט

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי

בפרק הקודם ראינו כי לכל מספר מרוכב ניתן להתאים מספר שנקרא הצמוד שלו. נסמנו (קו מעל הסימן שמסמל את המספר), והוא יוגדר כך: . כלומר, הצמוד של מספר כלשהו הוא מספר שזהה לו פרט לסימן החלק המדומה שלו.

מייד מההגדרה נובעות כמה תכונות:

  1. . כלומר, הצמוד של הצמוד של הוא עצמו.
  2. . כלומר, הצמוד של סכום של מספרים מרוכבים הוא הסכום של הצמודים של אותם מספרים.
  3. . כלומר, הצמוד של מכפלה של מספרים מרוכבים הוא המכפלה של הצמודים של אותם מספרים.
  4. . כלומר, הסכום של מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים החלק הממשי של אותו מספר.
  5. . כלומר, ההפרש בין מספר מרוכב והצמוד שלו שווה לפעמיים המספר המדומה כפול החלק המדומה של .
  6. מתקיים אם ורק אם הוא מספר ממשי. כלומר, אם מספר מרוכב שווה לצמוד שלו הוא ממשי, וכל מספר ממשי שווה לצמוד שלו.

לא קשה להוכיח תכונות אלו - נסו לעשות זאת בעצמכם על-ידי כתיבת המספר בצורה המפורשת .

הקשר בין הצמוד המרוכב והערך המוחלט[עריכה]

הגדרנו את הערך המוחלט עבור מספר מרוכב בצורה הבאה: אם אז .

נעמוד כעת על שני קשרים בסיסיים בין הערך המוחלט והצמוד המרוכב:

  1. . כלומר, הערך המוחלט של מספר זהה לערך המוחלט של הצמוד שלו.
  2. . כלומר, מספר כפול הצמוד שלו שווה לערך המוחלט שלו בריבוע. בפרט זהו מספר ממשי שכן הערך המוחלט של מספר הוא תמיד ממשי.

כדי לראות שהתכונה השניה מתקיימת, נשים לב כי .

נשים לב כי זוהי התכונה שעל קיומה עמדנו בפרק הקודם, ובה השתמשנו כדי לחשב את המנה . כעת נשתמש בתכונות שראינו ונכתוב בצורה כללית:

  • אם אז .

למעשה לא חידשנו כאן דבר - ההוכחה של תכונה זו היא מיידית וזהה ל"תעלול" שנקטנו בפרק הקודם. פשוט נכפול את המונה והמכנה של השבר בצמוד של , ובכך לא נשנה את ערך המספר כי אנו כופלים אותו ב-1.

נשים לב כי הדרישה היא הכרחית מהטעם הפשוט שאין מובן לביטוי והוא נותר לרוב בלתי-מוגדר.

תכונות של הערך המוחלט[עריכה]

כעת נשים לב למספר תכונות יסודיות של הערך המוחלט:

  1. ומתקיים אם ורק אם .
  2. .
  3. .
  4. .

נשים לב במיוחד לתכונה מספר 3. תכונה זו מכונה אי-שוויון המשולש, וקיימים לה שימושים רבים. בפרק העוסק במישור המרוכב יוסבר מדוע תכונה זו נקראת כך.


הפרק הקודם:
חשבון במספרים מרוכבים
הצמוד המרוכב והערך המוחלט
תרגילים
הפרק הבא:
הוצאת שורשים ומשוואות ריבועיות