מתמטיקה תיכונית/אלגברה תיכונית/אי-שוויונות/אי-שוויונות ממעלה שניה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

פתרון אי-שוויונות ממעלה שניה[עריכה]

שיטות הפתרון של אי-שוויונות ממעלה שניה שיוצגו פה מתבססות על ידע בסיסי מוקדם בחשבון דיפרנציאלי וחשבון אינטגרלי. הידע הנדרש הוא הכרה (בלבד) של פרבולה (במובן של פונקציה ריבועית).

לפתרון אי-שוויונות ממעלה שניה ישנה טכניקה שונה מהטכניקה לפתרון אי-שוויונות ממעלה ראשונה. הטכניקה לפתרון אי-שוויונות ריבועיים היא לצייר בקירוב גס את הפונקציה (על ציר בלבד - הסבר בהמשך), ולראות מתי היא קטנה או גדולה מ-0. לדוגמא:

ראשית נפשט את הביטוי ונעביר את כל האברים לאגף אחד בלבד. כדאי ורצוי להעביר לאגף בו המקדם של (a) חיובי (שיקולי נוחות).

כעת מה שנעשה הוא שלב עזר. נשווה את הביטוי שבאגף שמאל לאפס (משוואה), ונמצא את שורשי המשוואה.

עכשיו משמצאנו את שורשי המשוואה, נוכל לשרטט את הפונקציה בקירוב גס (ואין צורך ביותר מזה):

Inequality1.PNG

כעת ניתן לראות, שהביטוי לעיל קטן מ-0 כאשר .

לחילופין אם היו שואלים מתי אי-השוויון המפורש (לאחר שפישטנו אותו) גדול מ-0, אזי הפתרון היה

השיטה לפתרון[עריכה]

שלבי הפתרון של אי-שוויון ריבועי:

  1. מפשטים את אי-השוויון למצב שכל האברים באגף מסוים.
  2. אם יש צורך, מכפילים את המשוואה ב-1- כדי שהמקדם של יהיה חיובי.
  3. משווים ל-0 ומוצאים את שורשי המשוואה .
  4. משרטטים ציר בלבד, מסמנים עליו את השורשים, ומשרטטים פרבולה ישרה ("מחייכת") (היא ישרה כי דאגנו שהמקדם של יהא חיובי. אלמלא דאגנו לכך, כי אז היה צורך לצייר את הפרבולה הפוכה).
  5. בודקים איזה תחום נדרש מאיתנו (גדול או קטן מ-0) ומוצאים את התחום הזה בגרף.
  6. רושמים את הפתרון.

כאשר אנו נדרשים להתיר אי-שוויון ריבועי וחישבנו ומצאנו כי שורשי הביטוי הריבועי הם . בהנחה ש- אזי:

א. אם הביטוי הריבועי קטן מאפס אזי הפתרון הוא מערכת וגם:
ב. אם הביטוי הריבועי גדול מאפס אזי הפתרון הוא מערכת או:

ניתן להבין את קביעה זו לפי הגרף הבא:

Inequality2.PNG

אי-שוויונות ריבועיים מיוחדים[עריכה]

לעתים מופיעים תרגילים בהם נדרשת הוכחה כי אי-שוויון מסוים מתקיים לכל ערך , או לא מתקיים עבור אף ערך וכו'. בסעיף זה נלמד כיצד לפתור שאלות מסוג זה.

מלימודינו בחשבון דיפרנציאלי ראינו כי המקדם של מלמד על צורתה של הפרבולה: ישרה ("מחייכת") או הפוכה ("בוכה/עצובה"). נלמד כעת תכונה נוספת של ביטויים ריבועיים:

כידוע, הנוסחה לפתרון משוואה ריבועית היא . הביטוי שנמצא מתחת לשורש () נקרא דיסקרימיננטה ומסומן באות היוונית (דלתא). לדלתא משמעות רבה לגבי צורת הגרף:

  • כאשר הדיסקרימיננטה גדולה מ-0, לגרף של הביטוי הריבועי יש שתי נקודות חיתוך עם ציר .
  • כאשר הדיסקרימיננטה שווה 0, לגרף של הביטוי הריבועי יש נקודת חיתוך אחת עם ציר (הגרף בעצם משיק לציר ).
  • כאשר הדיסקרימיננטה קטנה מ-0, לגרף של הביטוי הריבועי אין נקודות חיתוך עם ציר .

כאשר יודעים את המקדם ה- של ואת הדיסקרימיננטה, ניתן לשרטט (באופן סכמטי, אך אין צורך ביותר מזה) את גרף הפונקציה. שרטוט גרף הפונקציה בעזרת מרכיבים אלו מאפשר לנו להוכיח ולפתור אי-שוויונות מעט יותר מורכבים. דוגמאות:

דוגמא 1[עריכה]

הוכח כי אי-השוויון מתקיים עבור כל ערך של איקס (ניסוחים אחרים: נכון עבור כל , נכון תמיד, סימון: ).

לפתרון שאלה זו שתי דרכים:

א. הדרך הרלוונטית לנו: שרטוט הגרף. בכדי לשרטט את הגרף נזדקק לשני נתונים הכרחיים: והדיסקרימיננטה. נוכל לראות כי , כלומר הפרבולה ישרה. שנית, נחשב את הדיסקרימיננטה:

קיבלנו כי הדיסקרימיננטה שווה ל-0, כלומר לגרף הפונקציה נקודה אחת משותפת עם ציר (הגרף משיק לציר ). במונחי משוואות, למשוואה יש רק פתרון אחד. כעת נוכל לשרטט באופן סכמטי את גרף הפונקציה:

Inequality3.PNG

מכאן נוכל לראות שאכן הביטוי הריבועי תמיד גדול או שווה ל-0 (הוא תמיד מעל (או על) ציר ).

ב. דרך שניה היא לאלו מבינינו ששמו לב שמדובר בנוסחת כפל מקוצר. לכן:

וכידוע, ביטוי ריבועי תמיד גדול או שווה ל-0.

דוגמא 2[עריכה]

הוכח כי עבור כל ערך של איקס הביטוי שלילי.

שוב, כדי לפתור שאלה זו מה שנעשה הוא ננסה לצייר את הפונקציה, וכך נוכיח את נכונות הטענה. בכדי לצייר את הפונקציה, אנו זקוקים לפרמטר ולדיסקרימננטה. נבדוק את הפרמטרים:

  • שלילי.
  • , כלומר הדיסקרימננטה שלילית גם כן.

משני נתונים אלו נוכל להסיק כי הפרבולה הפוכה, וכי אין לה נקודות חיתוך עם ציר . נצייר:

Inequality4.PNG

נוכל לראות מהגרף כי גרף הפונקציה נמצא תמיד מתחת לציר , כלומר תמיד שלילי. שוב, במונחים של משוואות, למשוואה הריבועית הזו אין אף פתרון. (בכך הוכחה הטענה)


הפרק הקודם:
אי־שוויונות ממעלה ראשונה
אי-שוויונות ממעלה שניה
תרגילים
הפרק הבא:
אי־שוויונות עם שורשים