משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת פורייה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

התמרת פורייה היא התמרה מוכרת מאוד ונפוצה בהנדסה.

"התמרת פורייה" בהקשר שלנו היא שם כולל ל-3 סוגי התמרות:

  • התמרת פורייה טריגונומטרית
    • התמרת סינוס
    • התמרת קוסינוס
  • התמרת פורייה מעריכית

השיטה[עריכה]

השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה, כלומר שמתקיים, לדוגמה:


דוגמאות[עריכה]

בעיית גלים במיתר סופי[עריכה]

נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:


נפעיל התמרת סינוס סופית (כי הבעיה נתונה בתחום סופי) על המשתנה x (כי הבעיה מתוחמת ב-x):


(להסביר מדוע מופיע האינקס n)

באגף שמאל נבצע החלפת סדר בין גזירה לאינטגרציה ובאגף ימין מבצע אינטגרציה בחלקים:


כלומר מתקבלת המד״ר:


ופתרונה מתקבל ע״י שימוש בפונקית גרין (עם ת״ה ) וקונבולוציה עם פונקצית האילוץ:


כעת, באופן בלתי תלוי, נרשום ביטוי כללי לפיתוח של הפונקציה המקורית לטור סינוסים:


כאשר bn הן פונקציות התלויות ב-t בלבד. כידוע מתורת הפיתוח לטורי פורייה, המקדמים bn ניתנים על ידי:


שימו לב כי האינטגרל שקבלנו הוא בדיוק ההתמרה שביצענו על u בתחילת הדרך (זו בדיוק ההתמרה ההפוכה!). לכן ניתן לכתוב:


נציב את U שקבלנו קודם ונקבלֹ:


ראו גם פתרון הבעיה בעזרת התמרת לפלס.