התמרת פורייה היא התמרה מוכרת מאוד ונפוצה בהנדסה.
"התמרת פורייה" בהקשר שלנו היא שם כולל ל-3 סוגי התמרות:
- התמרת פורייה טריגונומטרית
- התמרת סינוס
![{\displaystyle \ {\mathcal {F}}\left[f(x)\right]=F(p)=\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\sin(px)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c61826df738822e410b3173e63c26d63fcca909)
- התמרת קוסינוס
![{\displaystyle \ {\mathcal {F}}\left[f(x)\right]=F(p)=\int \limits _{0}^{\infty }f(x)\cos(px)\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7662cad09e7ba4f30bb07debc0e50597bb3fdd1c)
- התמרת פורייה מעריכית
![{\displaystyle \ {\mathcal {F}}\left[f(x)\right]=F(p)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)e^{ipx}\mathrm {d} x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4fce99f68de852f33f78e5d3130ca896cdca93eb)
השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה, כלומר שמתקיים, לדוגמה:
בעיית גלים במיתר סופי
[עריכה]
נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:
נפעיל התמרת סינוס סופית (כי הבעיה נתונה בתחום סופי) על המשתנה x (כי הבעיה מתוחמת ב-x):
(להסביר מדוע מופיע האינקס n)
באגף שמאל נבצע החלפת סדר בין גזירה לאינטגרציה ובאגף ימין מבצע אינטגרציה בחלקים:
כלומר מתקבלת המד״ר:
ופתרונה מתקבל ע״י שימוש בפונקית גרין (עם ת״ה
) וקונבולוציה עם פונקצית האילוץ:
כעת, באופן בלתי תלוי, נרשום ביטוי כללי לפיתוח של הפונקציה המקורית
לטור סינוסים:
כאשר bn הן פונקציות התלויות ב-t בלבד. כידוע מתורת הפיתוח לטורי פורייה, המקדמים bn ניתנים על ידי:
שימו לב כי האינטגרל שקבלנו הוא בדיוק ההתמרה שביצענו על u בתחילת הדרך (זו בדיוק ההתמרה ההפוכה!). לכן ניתן לכתוב:
נציב את U שקבלנו קודם ונקבלֹ:
ראו גם פתרון הבעיה בעזרת התמרת לפלס.