התמרת פורייה היא התמרה מוכרת מאוד ונפוצה בהנדסה.
"התמרת פורייה" בהקשר שלנו היא שם כולל ל-3 סוגי התמרות:
- התמרת פורייה טריגונומטרית
- התמרת סינוס
- התמרת קוסינוס
- התמרת פורייה מעריכית
השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה, כלומר שמתקיים, לדוגמה:
בעיית גלים במיתר סופי
[עריכה]
נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:
נפעיל התמרת סינוס סופית (כי הבעיה נתונה בתחום סופי) על המשתנה x (כי הבעיה מתוחמת ב-x):
(להסביר מדוע מופיע האינקס n)
באגף שמאל נבצע החלפת סדר בין גזירה לאינטגרציה ובאגף ימין מבצע אינטגרציה בחלקים:
כלומר מתקבלת המד״ר:
ופתרונה מתקבל ע״י שימוש בפונקית גרין (עם ת״ה ) וקונבולוציה עם פונקצית האילוץ:
כעת, באופן בלתי תלוי, נרשום ביטוי כללי לפיתוח של הפונקציה המקורית לטור סינוסים:
כאשר bn הן פונקציות התלויות ב-t בלבד. כידוע מתורת הפיתוח לטורי פורייה, המקדמים bn ניתנים על ידי:
שימו לב כי האינטגרל שקבלנו הוא בדיוק ההתמרה שביצענו על u בתחילת הדרך (זו בדיוק ההתמרה ההפוכה!). לכן ניתן לכתוב:
נציב את U שקבלנו קודם ונקבלֹ:
ראו גם פתרון הבעיה בעזרת התמרת לפלס.