משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת לפלס לפתרון בעיות תנאי התחלה

התמרת לפלס היא התמרה מוכרת מאוד ונפוצה בהנדסה.

התמרת לפלס הינה מהצורה:

$\ {\mathcal {L}}\left[f(x)\right]=F(p)=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-px}f(x)\mathrm {d} x$

היתרונות בהתמרה זו הינם:

• השילוב הקל של תנאי התחלה בתהליך הפתרון שהיא מאפשרת.
• קיימת ספרות נרחבת עם טבלאות התמרות מפורטות.

החסרונות בהתמרה הינם:

• מתאימה רק לבעיות תנאי התחלה (כלומר כאשר ערך הפונקציה ונגזרותיה נתונות בזמן t=0).
• על מנת להגיע לפתרון במשתנים המקוריים לעתים דרוש לבצע התמרה הפוכה שאינה שגרתית, שתהיה מלווה במציאת שאריות וכיו״ב.

השיטה

השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה ושמשתנה ההתמרה מתפקד כפרמטר, כלומר שמתקיים:

$\ {\mathcal {L}}\left[{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial ^{2}x}}\right]=\int \limits _{0}^{\infty }e^{-pt}{\frac {\partial ^{2}u(x,t)}{\partial ^{2}x}}\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d^{2}} }{\mathrm {d} x^{2}}}\int \limits _{0}^{\infty }e^{-pt}u(x,t)\mathrm {d} t={\frac {\mathrm {d^{2}} U(x,p)}{\mathrm {d} x^{2}}}$

דוגמאות

בעיית גלים במיתר חצי־אינסופי

נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:

$\ {\begin{cases}u_{tt}=u_{xx},\ x>0\\u(x,0)=u_{t}(x,0)=0\\u(0,t)=t\end{cases}}$

נפעיל את ההתמרה על המשתנה t (שבו נתונים תנאי ההתחלה) בשני האגפים ונקבל:

$\ p^{2}U(x,p)-p\overbrace {u(x,0)} ^{=0}-\overbrace {u_{t}(x,0)} ^{=0}=U''(x,p)$

כלומר קבלנו מד"ר פשוטה בפונקציה U ובמשתנה x:

$\ U''-p^{2}U=0\quad \Rightarrow \quad U(x,p)=A(p)e^{px}+B(p)e^{-px}$

על מנת למצוא את המקדמים (התלויים ב-p!) צריך:

1. להבטיח ש-U חסומה, ולכן דרוש לאפס את A.
2. להתמיר את תנאי השפה:

$\ U(0,p)={\mathcal {L}}[u(0,t)]={\frac {1}{p^{2}}}=B(p)$

כך שהפתרון הוא:

$\ U(x,p)={\frac {1}{p^{2}}}e^{-px}$

לבסוף נבצע התמרת לפלס הפוכה כדי לחזור למישור הזמן:

$\ {\mathcal {L}}^{-1}[U(x,p)]=u(x,t)=t-x$

למעשה הפתרון הקפדני יותר הוא

$\ u(x,t)=H(t-x)\cdot (t-x)$

כאשר H היא פונקצית המדרגה של Heaviside, והיא נמצאת בפתרון מכיוון שתחום הבעיה הוא x>0.

בעיית גלים במיתר סופי

נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:

$\ {\begin{cases}u_{tt}=c^{2}u_{xx},\ 0\leq x\leq l\\u(x,0)=u_{t}(x,0)=0\\u(0,t)=g(t),\ u(l,t)=0\end{cases}}$

בדומה למקרה הקודם, נפעיל התמרת לפלס על המשתנה שבו נתונים תנאים ב-0, כלומר המשתנה t, ונקבל את המד"ר הבאה:

$\ U''-{p^{2} \over c^{2}}U=0\quad \Rightarrow \quad U(x,p)=A(p)e^{{p \over c}x}+B(p)e^{-{p \over c}x}$

על מנת למצוא את המקדמים (התלויים ב-p!) צריך להשתמש בשני תנאי השפה הנתונים (כאן לא ניתן להשתמש בטיעון החסימות מכיון שהבעיה מוגבלת לתחום סופי):

$\ \left\{{\begin{array}{ll}U(0,p)=G(p):&A(p)+B(p)=G(p)\\U(l,p)=0:&A(p)e^{{p \over c}l}+B(p)e^{-{p \over c}l}=0\end{array}}\right.$

ביצוע מספר מניפולציות אלגבריות יביאו לתוצאה:

$\ U(x,p)=G(p){\frac {\sinh \left[{\frac {p}{c}}(l-x)\right]}{\sinh \left({\frac {p}{c}}l\right)}}$

כעת נותר לבצע התמרת לפלס הפוכה על הביטוי שלעיל. ע"פ תכונת הקונבולוציה, ההתמרה ההפוכה הינה:

$\ u(x,t)=g(t)*{\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {\sinh \left[{\frac {p}{c}}(l-x)\right]}{\sinh \left({\frac {p}{c}}l\right)}}\right\}$

ויקיפדיה: משפט השאריות

כך שעלינו למצוא את התמרה ההפוכה של הגורם הימני בלבד (הפונקציה הכללית g נתונה בבעיה). נשתמש לצורך כך במשפט השאריות של קושי:

$\ {\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(p)\right\}={\frac {1}{2\pi i}}\int \limits _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(p)e^{pt}\mathrm {d} p=\sum \limits _{k=1}\operatorname {Res} \left[F(p)e^{pt},p_{k}\right]$

הקטבים של הפונקציה הם האפסים של $\ \sinh(pl/c)$ כלומר: $p_{k}=\pm \pi i{c \over l}k$. לצורך חישוב הקטבים ניזכר במשפט מאנליזה מרוכבת שעל פיו הקטבים של מנת־פונקציות מתקבלים מתוך חלוקת המונה בנגזרת המכנה (בתנאי שאינה אפס שם):

$\operatorname {Res} \left\{{\frac {f_{1}(z)}{f_{2}(z)}},z_{p}\right\}={\frac {f_{1}(z_{p})}{f_{2}^{\prime }(z_{p})}}$

כך שמתקבל:

$\operatorname {Res} \left[F(p)e^{pt},p_{k}\right]=-i{c \over l}\sin \left(\pi k{\frac {x}{l}}\right)e^{i\pi k{\frac {c}{l}}t}$

בסה״כ, ע״י שימוש בזהות $\ \sin(x)={\tfrac {i}{2}}(e^{-ix}+e^{ix})$ ובסימטריה של הקטבים מתקבל:

$f(x,t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(p)\right\}=2{c \over l}\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sin {\frac {\pi kx}{l}}\sin {\frac {\pi kct}{l}}$

ולכן התשובה הסופית הינה הקונבולוציה:

$\ u(x,t)=\int \limits _{0}^{t}g(t-\tau )f(x,\tau )\mathrm {d} \tau =2{c \over l}\sum \limits _{k=1}^{\infty }\sin {\frac {\pi kx}{l}}\int \limits _{0}^{t}g(t-\tau )\sin {\frac {\pi kc\tau }{l}}\mathrm {d} \tau$

ראו גם פתרון הבעיה בעזרת התמרת פוריה.

לקריאה נוספת

• פרק 5: Partial Differential Equations (עמ׳ 175) בספר: Schiff, Joel L., The Laplace transform: theory and applications, Springer-Verlag, 1999, New York ISBN 0387986987.
• טבלאות Laplace Transforms בספר Abramowitz, M., Stegun I., Handbook of Mathematical Functions.