משוואות דיפרנציאליות חלקיות/התמרות אינטגרליות/התמרת לפלס לפתרון בעיות תנאי התחלה

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

התמרת לפלס היא התמרה מוכרת מאוד ונפוצה בהנדסה.

התמרת לפלס הינה מהצורה:


היתרונות בהתמרה זו הינם:

  • השילוב הקל של תנאי התחלה בתהליך הפתרון שהיא מאפשרת.
  • קיימת ספרות נרחבת עם טבלאות התמרות מפורטות.

החסרונות בהתמרה הינם:

  • מתאימה רק לבעיות תנאי התחלה (כלומר כאשר ערך הפונקציה ונגזרותיה נתונות בזמן t=0).
  • על מנת להגיע לפתרון במשתנים המקוריים לעתים דרוש לבצע התמרה הפוכה שאינה שגרתית, שתהיה מלווה במציאת שאריות וכיו״ב.

השיטה[עריכה]

השיטה, בדומה לכל השיטות האינטגרליות, מתבססת על ההנחה כי ניתן לשנות סדר בין גזירה לאינטגרציה ושמשתנה ההתמרה מתפקד כפרמטר, כלומר שמתקיים:


דוגמאות[עריכה]

בעיית גלים במיתר חצי־אינסופי[עריכה]

נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:


נפעיל את ההתמרה על המשתנה t (שבו נתונים תנאי ההתחלה) בשני האגפים ונקבל:


כלומר קבלנו מד"ר פשוטה בפונקציה U ובמשתנה x:


על מנת למצוא את המקדמים (התלויים ב-p!) צריך:

  1. להבטיח ש-U חסומה, ולכן דרוש לאפס את A.
  2. להתמיר את תנאי השפה:

כך שהפתרון הוא:


לבסוף נבצע התמרת לפלס הפוכה כדי לחזור למישור הזמן:


למעשה הפתרון הקפדני יותר הוא


כאשר H היא פונקצית המדרגה של Heaviside, והיא נמצאת בפתרון מכיוון שתחום הבעיה הוא x>0.

בעיית גלים במיתר סופי[עריכה]

נתונה בעיית תנאי־ההתחלה הבאה:


בדומה למקרה הקודם, נפעיל התמרת לפלס על המשתנה שבו נתונים תנאים ב-0, כלומר המשתנה t, ונקבל את המד"ר הבאה:


על מנת למצוא את המקדמים (התלויים ב-p!) צריך להשתמש בשני תנאי השפה הנתונים (כאן לא ניתן להשתמש בטיעון החסימות מכיון שהבעיה מוגבלת לתחום סופי):


ביצוע מספר מניפולציות אלגבריות יביאו לתוצאה:


כעת נותר לבצע התמרת לפלס הפוכה על הביטוי שלעיל. ע"פ תכונת הקונבולוציה, ההתמרה ההפוכה הינה:


Blue think.svg ויקיפדיה: משפט השאריות

כך שעלינו למצוא את התמרה ההפוכה של הגורם הימני בלבד (הפונקציה הכללית g נתונה בבעיה). נשתמש לצורך כך במשפט השאריות של קושי:


הקטבים של הפונקציה הם האפסים של כלומר: . לצורך חישוב הקטבים ניזכר במשפט מאנליזה מרוכבת שעל פיו הקטבים של מנת־פונקציות מתקבלים מתוך חלוקת המונה בנגזרת המכנה (בתנאי שאינה אפס שם):


כך שמתקבל:


בסה״כ, ע״י שימוש בזהות ובסימטריה של הקטבים מתקבל:


ולכן התשובה הסופית הינה הקונבולוציה:


ראו גם פתרון הבעיה בעזרת התמרת פוריה.

לקריאה נוספת[עריכה]