נשתמש באותו הרעיון בו השתמשתנו כדי לנתח טור של לוגריתמים.
ראשית נראה כי
.
הוכחה: ![{\displaystyle \displaystyle f(n)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=i}^{n}[\Theta (j-i+1)]\leq \sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}[\Theta (n)]=\Theta (n^{3})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cac6eab16c17788f2ba9b67e6545e752060dead8)
.
כעת נראה כי
.
הוכחה:
.
נשים לב שכאשר
בתחום
ו
בתחום
,
אז
.
לכן נקבל
.
.
נשים לב שעבור ערך
כלשהו, נוכל לבצע את החלפת המשתנים
, ונקבל
.
נציב זאת חזרה בסכום הכפול:
.
נבצע החלפת משתנים
, ונקבל:
.