הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן השורש של קושי

משפט

יהי $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ טור חיובי.

1. אם $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=L<1$ הטור מתכנס.
2. אם $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=L>1$ או $\lim _{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a_{n}}}=\infty$ , הטור מתבדר.

הוכחה (1)

נבחר מספר $L<q<1$ .

קיים $k$ כך שלכל $n>k$ מתקיים ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}<q$ או $a_{n}<q^{n}$ .

$\sum _{n=1}^{\infty }q^{n}$ טור גאומטרי עם מנה $0<q<1$ ולכן לפי מבחן ההשוואה $\sum _{n=k+1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס.

אזי $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס.

$\blacksquare$

הוכחה (2)

קיים $k$ כך שלכל $n>k$ מתקיים ${\sqrt[{n}]{a_{n}}}>1$ או $a_{n}>1$ .

מכך נובע כי $\lim _{n\to \infty }a_{n}\neq 0$ והטור מתבדר כיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס.

$\blacksquare$