הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/התכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס

משפט

אם הטור $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס, אזי $\lim _{n\to \infty }a_{n}=0$ .

הוכחה

מהתכנסות הטור נובע כי סדרת הסכומים החלקיים $S_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k}$ מתכנסת לגבול סופי $L$ . נשים לב כי לכל $n\geq 2$ מתקיים $a_{n}=S_{n}-S_{n-1}$ .

אזי לפי אריתמטיקה של גבולות סופיים נקבל כי:

$$\lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }{\Big [}S_{n}-S_{n-1}{\Big ]}=\lim _{n\to \infty }S_{n}-\lim _{n\to \infty }S_{n-1}=L-L=0$$

$\blacksquare$