הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן ההשוואה

משפט

יהיו $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n},\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ טורים חיוביים. אם מתקיים $a_{n}\leq b_{n}$ לכל $n$ , אזי

1. התכנסות $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ גוררת את התכנסות $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ .
2. התבדרות $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ גוררת את התבדרות $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ .

הערה: קל לראות שמספיק שיתקיים $a_{n}\leq b_{n}$ רק החל ממקום מסוים בסדרה.

הוכחה

• נסמן סדרות סכומים חלקיים $A_{n}=\sum _{k=1}^{n}a_{k},B_{n}=\sum _{k=1}^{n}b_{k}$ .

שני הטורים חיוביים, לכן סדרות הסכומים החלקיים שלהם חיוביות ומונוטוניות עולות ($S_{n+1}=S_{n}+a_{n+1}\geq S_{n}$).

אם $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתכנס אז $\lim _{n\to \infty }B_{n}=L$ . נתון $a_{n}\leq b_{n}$ לכל $n$ , ולכן $A_{n}\leq B_{n}\leq L$ .

אזי $A_{n}$ מתכנסת כי היא סדרה מונוטונית עולה וחסומה מלעיל.

$\blacksquare$

• אם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתבדר אז $\lim _{n\to \infty }A_{n}=\infty$ כי $A_{n}$ חיובית ומונוטונית עולה. נתון $a_{n}\leq b_{n}$ לכל $n$ , ולכן $B_{n}\geq A_{n}$ .

לפיכך $\lim _{n\to \infty }B_{n}=\infty$ ומכך נובע כי הטור $\sum _{n=1}^{\infty }b_{n}$ מתבדר.

$\blacksquare$