הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/מבחן המנה של ד'אלמבר

משפט

יהי $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ טור חיובי.

אם $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = L < 1$ הטור מתכנס.
אם $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = L > 1$ או $lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \infty$ , הטור מתבדר.

הוכחה

$L < 1$

נבחר מספר $L < q < 1$ .

קיים $N$ כך שלכל $n \geq N$ מתקיים $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < q$ או $a_{n + 1} < a_{n} \cdot q$ . נציב את $n$ להיות $N, N + 1, N + 2$ וכו' באי־שוויון זה ונקבל:

\begin{matrix} a_{N + 1} < a_{N} \cdot q \\ a_{N + 2} < a_{N + 1} \cdot q < a_{N} \cdot q^{2} \\ a_{N + 3} < a_{N + 2} \cdot q < a_{N} \cdot q^{3} \end{matrix}

באופן כללי, ניתן לקבל באינדוקציה כי $a_{N + k} < a_{N} \cdot q^{k}$ לכל $k \geq 1$ .

$\sum_{k = 1}^{\infty} a_{N} \cdot q^{k}$ מתכנס כטור גאומטרי וחיובי עם מנה $0 < q < 1$ . אזי לפי מבחן ההשוואה $\sum_{n = N + 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{k = 1}^{\infty} a_{N + k}$ מתכנס.

לכן $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס.

$◼$

$L > 1$ או $L = \infty$

קיים $N$ כך שלכל $n \geq N$ מתקיים כי $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} > 1$ או $a_{n + 1} > a_{n}$ .

אזי ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ חיובית ומונוטונית עולה, לכן $lim_{n \to \infty} a_{n} \neq 0$ והטור מתבדר כיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה לאפס.

$◼$