הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/טורים ומבחני התכנסות/התכנסות בהחלט גוררת התכנסות

משפט

טור מתכנס בהחלט הוא טור מתכנס.

הוכחה

נתבונן באי־השוויון הבא:

$0\leq a_{n}+|a_{n}|\leq 2|a_{n}|$

מכיון ש־$|a_{n}|$ שווה ל־$a_{n}$ או ל־$-a_{n}$ . אם $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}$ מתכנס בהחלט אז $\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ מתכנס, לכן גם $\sum _{n=1}^{\infty }2|a_{n}|$ מתכנס.

על־פי מבחן ההשוואה לטורים חיוביים, מהתכנסות $\sum _{n=1}^{\infty }2|a_{n}|$ נובעת התכנסות $\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}a_{n}+|a_{n}|{\bigr )}$ .

אזי $\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}a_{n}+|a_{n}|{\bigr )}-\sum _{n=1}^{\infty }|a_{n}|$ הוא הפרש של שני טורים מתכנסים וככזה, הוא טור מתכנס.

$\blacksquare$