הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/משפט דארבו

משפט

תהי $f$ רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ , גזירה בקטע הפתוח $(a,b)$ , גזירה מימין ב־$a$ וגזירה משמאל ב־$b$ .

יהי $y$ עבורו $f'(a^{+})<y<f'(b^{-})$ או $f'(a^{+})>y>f'(b^{-})$ .

אזי קיים $c\in [a,b]$ עבורו $f'(c)=y$ .

במילים אחרות: תחת תנאי המשפט, $f'$ מקיימת את משפט ערך הביניים, מבלי שכלל תצטרך להיות רציפה בקטע.

הוכחה

נניח ללא הגבלת הכלליות כי $f'(a^{+})<y<f'(b^{-})$ .

נגדיר פונקציה $g(x)=f(x)-yx$ . זו גזירה בקטע הפתוח $(a,b)$ ובעלת נגזרות חד־צדדיות בקצות הקטע כהפרש פונקציות גזירות בקטע וחד־צדדית בקצותיו.

נגזרתה היא $g'(x)=f'(x)-y$ והיא מקיימת $g'(a^{+})<0<g'(b^{-})$ כי:

${\begin{matrix}g'(a^{+})=f'(a^{+})-y<0\\g'(b^{-})=f'(b^{-})-y>0\end{matrix}}$

$g$ רציפה בקטע הסגור $[a,b]$ כהפרש פונקציות רציפות. לפיכך, על־פי המשפט השני של ויירשטראס היא מקבלת מינימום בקטע זה.

• מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה $a$ כי $g'(a^{+})<0$ ולכן $g$ יורדת מקומית שם.
• מינימום זה לא יכול להתקבל בנקודה $b$ כי $g'(b^{-})>0$ ולכן $g$ עולה מקומית שם.

לפיכך, המינימום חייב להתקבל בנקודה $c\in (a,b)$ .

ממשפט פרמה נובע כי $g'(c)=f'(c)-y=0$ . לכן $f'(c)=y$ .

$\blacksquare$