הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גזירות/כלל לופיטל

משפט

תהיינה $f,g$ פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של $a$ כך ש־$g'(x)\neq 0$ , וכן $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=0$ .

אם הגבול $\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L$ קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L$ .

הוכחה

נגדיר שתי פונקציות:

$${\begin{array}{l}F(x)={\begin{cases}f(x)&:x\neq a\\0&:x=a\end{cases}}\qquad \lim \limits _{x\to a}F(x)=\lim \limits _{x\to a}f(x)=0=F(a)\\G(x)={\begin{cases}g(x)&:x\neq a\\0&:x=a\end{cases}}\qquad \lim \limits _{x\to a}G(x)=\lim \limits _{x\to a}g(x)=0=G(a)\end{array}}$$

ולכן הפונקציות $F,G$ רציפות ב־$a$ ובסביבת $\delta$ שלה. נתבונן בקטע $[a,x]$ כאשר $|x-a|<\delta$ .

לפי הנ"ל, $F,G$ רציפות בקטע $[a,x]$ , גזירות בקטע $(a,x)$ ו־$G'\neq 0$ בקטע. אזי לפי משפט הערך הממוצע של קושי קיים $c\in (a,x)$ עבורו

$${\frac {F'(c)}{G'(c)}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F(x)}{G(x)}}$$

נשים לב כי $\lim _{x\to a^{+}}c=a$ מכיון ש־$c\in (a,x)$ וזאת כתוצאה ישירה של כלל הסנדוויץ'. נשתמש בעובדה זו בחישוב הגבול הבא:

$$\lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a^{+}}{\frac {F(x)}{G(x)}}=\lim _{c\to a^{+}}{\frac {F'(c)}{G'(c)}}=\lim _{c\to a^{+}}{\frac {f'(c)}{g'(c)}}=L$$

באופן דומה, בעזרת קטע $[x,a]$ מוכיחים כי $\lim _{x\to a^{-}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L$ .

לכן $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L$ .

$\blacksquare$

משפט

תהיינה $f,g$ פונקציות גזירות בסביבת $a$ כך ש- $g'(x)\neq 0$ , וכן $\lim _{x\to \pm \infty }f(x)=\lim _{x\to \pm \infty }g(x)=0$ .

אם הגבול $\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L$ קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים $\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to \pm \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L$ .

הוכחה

יהי $t={\frac {1}{x}}$. בשלב הזה ההוכחה מתפצלת עבור המקרים $x\to +\infty$ ו- $x\to -\infty$ , כאשר ההבדל בעיקרו מתבטא רק בשלב הבא: אם $x\to \infty$ אז $t\to 0^{+}$ (בהוכחה עבור $x\to -\infty$ היינו מקבלים $t\to 0^{-}$). נוכיח את המקרה $x\to \infty$ בלבד. אזי,

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f\left({\frac {1}{t}}\right)}{g\left({\frac {1}{t}}\right)}}$

כעת נשתמש בכלל לופיטל עבור נקודה סופית, אותו הוכחנו לעיל.

$\lim _{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f\left({\frac {1}{t}}\right)}{g\left({\frac {1}{t}}\right)}}=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f'\left({\frac {1}{t}}\right)\cdot \left(-{\frac {1}{t^{2}}}\right)}{g'\left({\frac {1}{t}}\right)\cdot \left(-{\frac {1}{t^{2}}}\right)}}=\lim _{t\to 0^{+}}{\frac {f'\left({\frac {1}{t}}\right)}{g'\left({\frac {1}{t}}\right)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$

כדרוש. מ.ש.ל.

משפט

תהיינה $f,g$ פונקציות גזירות בסביבת $a$ כך ש- $g'(x)\neq 0$ , וכן $\lim _{x\to a}f(x)=\lim _{x\to a}g(x)=\pm \infty$ .

אם הגבול $\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L$ קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L$ .

הוכחה

נרשום $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {\frac {1}{g(x)}}{\frac {1}{f(x)}}}$ ובכך אנחנו מקבלים גבול מהצורה ${\frac {0}{0}}$ המקיים את כל תנאי כלל לופיטל עבור מקרה זה, אותו הוכחנו לעיל. נשתמש בכלל לופיטל ונקבל:

$\lim _{x\to a}{\frac {\frac {1}{g(x)}}{\frac {1}{f(x)}}}=\lim _{x\to a}{\frac {-{\frac {g'(x)}{[g(x)]^{2}}}}{-{\frac {f'(x)}{[f(x)]^{2}}}}}$

אזי, קיבלנו $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {g'(x)\cdot [f(x)]^{2}}{f'(x)\cdot [g(x)]^{2}}}$ .

על-ידי מניפולציה אלגברית פשוטה, אנו מקבלים:

$\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}\cdot {\frac {[g(x)]^{2}}{[f(x)]^{2}}}=\lim _{x\to a}{\frac {g'(x)\cdot [f(x)]^{2}}{f'(x)\cdot [g(x)]^{2}}}\cdot {\frac {[g(x)]^{2}}{[f(x)]^{2}}}$

ומכך נובע:

$\lim _{x\to a}{\frac {g(x)}{f(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {g'(x)}{f'(x)}}$

כיון ש- $f$ ו- $g$ שואפים ל- $\pm \infty$ , אנו מקבלים $\lim _{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}$ , כדרוש. מ.ש.ל.