- משפט
תהיינה
פונקציות גזירות בסביבה מנוקבת של
כך ש־
, וכן
.
אם הגבול
קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים
.
- הוכחה
נגדיר שתי פונקציות:
![{\displaystyle {\begin{array}{l}F(x)={\begin{cases}f(x)&:x\neq a\\0&:x=a\end{cases}}\qquad \lim \limits _{x\to a}F(x)=\lim \limits _{x\to a}f(x)=0=F(a)\\G(x)={\begin{cases}g(x)&:x\neq a\\0&:x=a\end{cases}}\qquad \lim \limits _{x\to a}G(x)=\lim \limits _{x\to a}g(x)=0=G(a)\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/665a2f6027764b114bddd56a63f74113de9301c6)
ולכן הפונקציות
רציפות ב־
ובסביבת
שלה. נתבונן בקטע
כאשר
.
לפי הנ"ל,
רציפות בקטע
, גזירות בקטע
ו־
בקטע. אזי לפי משפט הערך הממוצע של קושי קיים
עבורו
![{\displaystyle {\frac {F'(c)}{G'(c)}}={\frac {F(x)-F(a)}{G(x)-G(a)}}={\frac {F(x)}{G(x)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b0ace23792f7902c01849569b2eab4290ef3da63)
נשים לב כי
מכיון ש־
וזאת כתוצאה ישירה של כלל הסנדוויץ'. נשתמש בעובדה זו בחישוב הגבול הבא:
![{\displaystyle \lim _{x\to a^{+}}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to a^{+}}{\frac {F(x)}{G(x)}}=\lim _{c\to a^{+}}{\frac {F'(c)}{G'(c)}}=\lim _{c\to a^{+}}{\frac {f'(c)}{g'(c)}}=L}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1a73ddace1a6f7116ff082ca4c5dc07c52e032be)
באופן דומה, בעזרת קטע
מוכיחים כי
.
לכן
.
- משפט
תהיינה
פונקציות גזירות בסביבת
כך ש-
, וכן
.
אם הגבול
קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים
.
- הוכחה
יהי
. בשלב הזה ההוכחה מתפצלת עבור המקרים
ו-
, כאשר ההבדל בעיקרו מתבטא רק בשלב הבא: אם
אז
(בהוכחה עבור
היינו מקבלים
). נוכיח את המקרה
בלבד. אזי,
כעת נשתמש בכלל לופיטל עבור נקודה סופית, אותו הוכחנו לעיל.
כדרוש. מ.ש.ל.
- משפט
תהיינה
פונקציות גזירות בסביבת
כך ש-
, וכן
.
אם הגבול
קיים (גם במובן הרחב) אזי מתקיים
.
- הוכחה
נרשום
ובכך אנחנו מקבלים גבול מהצורה
המקיים את כל תנאי כלל לופיטל עבור מקרה זה, אותו הוכחנו לעיל. נשתמש בכלל לופיטל ונקבל:
אזי, קיבלנו
.
על-ידי מניפולציה אלגברית פשוטה, אנו מקבלים:
ומכך נובע:
כיון ש-
ו-
שואפים ל-
, אנו מקבלים
, כדרוש. מ.ש.ל.