לדלג לתוכן

הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/מבחן השורש לסדרות

מתוך ויקיספר, אוסף הספרים והמדריכים החופשי
משפט

תהי סדרה חיובית. נסמן .

  • אם אז .
  • אם אז .
הוכחה
  • מקרה א':
בדומה למבחן השורש לטורים, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה.
ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן השורש לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול , אז המבחן קובע כי הטור מתכנס,
וכיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה ל-0, נקבל כי .
  • מקרה ב':
נבחר מספר המקיים . כיון ש־ קיים כך שלכל מתקיים , כלומר .
היא סדרה הנדסית עם מנה ולכן שואפת לאינסוף. מאי־השוויון לעיל נובע כי .