הוכחות מתמטיות/חשבון אינפיניטסימלי/גבולות, סדרות ורציפות/סדרות/מבחן השורש לסדרות
מראה
- משפט
תהי סדרה חיובית. נסמן .
- אם אז .
- אם אז .
- הוכחה
- מקרה א':
- בדומה למבחן השורש לטורים, ההוכחה מתבססת על בניית סדרה הנדסית בהתבסס על הגבול והשוואתה לסדרה הנתונה.
- ניתן לקצר תהליכים ולהתבסס ישירות על מבחן השורש לטורים כי אם הסדרה חיובית והגבול , אז המבחן קובע כי הטור מתכנס,
- וכיון שהתכנסות טור גוררת התכנסות הסדרה ל-0, נקבל כי .
- מקרה ב':
- נבחר מספר המקיים . כיון ש־ קיים כך שלכל מתקיים , כלומר .
- היא סדרה הנדסית עם מנה ולכן שואפת לאינסוף. מאי־השוויון לעיל נובע כי .